ОКРУГЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЬ

— погрешность, возникающая при реализации арифметических операций на ЦВМ с округлением результата до фиксированного к-ва разрядов. Различают два режима работы ЦВМ — с фиксированной запятой (ф. з.) и плавающей запятой (п. з.). При вычислениях с ф. з. каждое число х находится в интервале , к которому исходные числа приводятся путем масштабирования. При вычислениях с п. я каждое число х представляется в виде , где b — целое положительное или отрицательное число, называемое порядком, и а (мантисса) — число, удовлетворяющее одному из неравенств: или Предполагается, что вычисл. машины оперируют с числами, имеющими в р-ичном (для простоты ограничимся представлении разрядов после запятой в случае ф. з. и разрядов в мантиссе — в случае п. такие числа будем называть стандартными. Равенство вида означает, что х, у и z — стандартные числа с ф. з. и что z получено из выполнением соответствующей операции с ф. з. В этом случае О. п. будут вызываться только умножением и делением. Предполагается, что процесс округления таков, что

где Многие ЦВМ в режиме ф. з. позволяют точно вычислять скалярное произведение без спец. программирования (если только не происходит переполнение). В общем случае точное представление такой суммы требует разрядов после двоичной запятой. Запись

означает, что z — число, полученное точным накоплением скалярного произведения и последующим округлением результата, в отличие от записи

означающей округление на каждом шаге. Тогда

где в отличие от округления на каждом шаге, когда

В режиме п. з. равенство означает, что — стандартные числа с п. з. и что z получено из х и у выполнением соответствующей операции с п. з. О. п. в этих операциях предполагаются таковыми, что

где — относительная погр. . Всевозможные результаты, имеющие место в режиме п. з., являются прямым следствием соотношений (1), применение которых приводит к оценкам вида

которые можно упростить, предположив, что выполняется условие вполне оправдано в практических приложениях для любого приемлемого . Тогда

и

откуда Последнее соотношение используется во всех следующих оценках:

где

где . Здесь предполагалось, что

где

где

Для операций сложения и умножения, реализуемых на ЦВМ в режиме п. з., справедливы неравенства

Постоянное I зависит от соотношения порядков слагаемых и способа округления, зафиксированного в машине. Можно подобрать способы записи и округления такие, что На основании указанных результатов можно получить мажорантные оценки О. п. для многих вычисл. алгоритмов решения прикладных задач (см. Погрешностей вычислений теория). В ычислительные алгоритмы, реализованные на ЦВМ, наз. реальными.

Другой подход к автоматическому анализу и контролю погр. при вычислении на ЦВМ основан на интервальном анализе. Показано, что интервальная арифметика является средством для автомат, определения верхних границ накопленной О. п. при вычислении на любой ЦВМ. Следует отметить, что мажорантные оценки, хотя их широко применяют в практике вычислений, являются характеристикой достаточно грубой, поэтому важным является вопрос асимптотического распределения О. п.

Приведем несколько результатов асимптотического распределения О. п. для преобразования векторов. Пусть в -мерном вещественном простр. R (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе) задана выпуклая односвязная замкнутая область G, и векторы случайные величины, плотность распределения которых есть непрерывная ф-ция причем Предположим, что над векторами совершается последовательность преобразований, матрицы которых имеют вид к, где прямоугольные матрицы размером (вектор-столбцы), Е — единичная матрица, знак штрих означает транспонирование. Обозначив через вектор, полученный из вектора после первых преобразований, получим Реально будет вычислен вектор

где погр., полученная от округления компонент вектора z до знаков после запятой, погр., внесенная на шаге в результате неточной реализации ф-лы вычисления Из последней ф-лы следует, что вектор z можно рассматривать как результат точного преобразования вектора, стоящего в круглых скобках. Этот вектор отличается от вектора на величину

которую наз. эквивалентным возмущением и рассматривают как ф-цию случайного аргумента z. Предположим, что при вычислении скалярное произведение вычисляется в режиме накопления. Тогда где — погр. от округления скалярного произведения погр. от округления произведения округленного скалярного произведения на вектор

Относительно всех погр., возникающих при линейных преобразованиях, справедливо в случае ф. з. следующее утверждение: все погр., возникающие при линейных преобразованиях векторов, асимптотически независимы между собой и распределены равномерно почти для всех матриц преобразования вида при любом распределении входных данных, имеющих почти всюду отличную от 0 непрерывную плотность распределения.

Большинство сформулированных результатов переносится на вычисления с п. з., но здесь имеют место и некоторые особенности. Как указано выше, в режиме ф. з. О. п. определяются в основном погрешностью умножения, которая асимптотически распределена равномерно и симметрично относительно 0. Симметрия погр. относительно 0 позволяет получить вероятностные оценки для норм эквивалентного возмущения значительно лучшие, чем мажорантные оценки. Относительно сложения в режиме п. з. имеют место следующие утверждения: при любом закрепленном способе округления, определяемом лишь «отбрасываемыми» разрядами, погр. при сложении случайных чисел в режиме п. з. будет иметь систематическое смещение при любой системе счисления с четным основанием; классический способ округления в любой системе с нечетным основанием асимптотически приводит к несмещенным погр. для сложения в режиме п. з. Следовательно, в вычислениях с п. з. различные системы счисления неравноправны с точки зрения «качества» О. п.

Лит.. Воеводин В. В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры. М., 1969 [библиогр. с. 148—153]: Wilkinson J. Н. Rounding errors in algebraic processes. London. 1963: Moore R. E. Interval analysis. Englewood Cliffs - New York, 1966. М. Д. Бабич.