Главная > Энциклопедия кибернетики. Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА МЕТОД

— метод исследования динамических систем, основанный на изучении возможных движений системы в фазовом пространстве. Фазовым пространством (простр. состояний) наз. пространство переменных динамической системы, описываемой дифф. уравнениями

Здесь зависимые переменные, t — независимая переменная ф-ции. удовлетворяющие при заданных для начальных значениях

условиям существования решений

В пространстве значения функций (3) представляют координаты изображающей точки, которая при изменении времени t (если его рассматривать как параметр) описывает фазовую траекторию. Совокупности всех возможных начальных значений отвечает совокупность фазовых траекторий, образующая в пространстве фазовую картину движения.

Точки фазового пространства, для которых особыми точками и изображают состояния равновесия системы. Особые точки могут быть изолированными либо составлять некоторую область (напр., отрезок или пластинку). Замкнутые фазовые траектории, для которых

изображают периодические движения системы периода и могут быть изолированными либо образовывать некоторую область (напр., кольцо или тор). Особые точки и замкнутые траектории могут быть устойчивыми или неустойчивыми, в зависимости от того, служат они элементами притяжения или отталкивания для окрестных траекторий. Поверхности в фазовом пространстве, которые служат элементами притяжения или отталкивания для всех окрестных траекторий, наз. сепаратрисными.

Ф. п. м. состоит в определении фазовых траекторий либо всей фазовой картины движения, характеризующей такие свойства системы, как существование и устойчивость установившихся движений, характер переходных движений и др. Метод наиболее нагляден, если система (1) имеет второй порядок, для которой фазовое пространство — плоскость.

Пусть система описывается уравнениями

где — постоянные коэффициенты; члены, обращающиеся в начале координат в нуль по крайней мере как бесконечно малые второго порядка. Обозначим через корни характеристического уравнения

Франц. математик А. Пуанкаре (1854—1912) показал, что система (4) может иметь особые точки следующих типов: 1) устойчивый узел (если и вещественные отрицательные), в который апериодически вливаются окрестные траектории; 2) неустойчивый узел (если и вещественные положительные), от которого траектории апериодически расходятся; 3) устойчивый фокус (если I, и — комплексные с отрицательными вещественными частями), на который траектории наматываются спиралями; 4) неустойчивый фокус (если и — комплексные с положительными вещественными частями), с которого траекторив разматываются спиралями; 5) седло вещественные разных знаков), в которое входят две и из которого выходят две траектории, а остальные траектории с ним не соприкасаются; 6) возможен фокус или центр (если и - чисто мнимые), в зависимости от вида ф-ций Р и Q; в том случае, если особая точка — центр, ее окружают замкнутые траектории, вложенные друг в друга (рис. 1). Изолированные замкнутые траектории Пуанкаре назвал предельными циклами (рис. 2).

Если то система (4) линейна, типы ее особых точек сохраняются, характерные для них траектории охватывают всю плоскость в случае чисто мнимых корней имеется определенно центр, предельных циклов быть не может. Если Р и Q — кусочнолинейные функции, то система (4) представляет собой ряд подсистем линейных дифф. уравнений, каждая из которых справедлива в определенной области плоскости в каждой области фазовые траектории

могут быть определены как часть траекторий соответствующей линейной системы; сшиванием траекторий, принадлежащих отдельным областям определяются траектории на всей плоскости . Для построения фазовых траекторий используют также графические и графо-аналитические методы и методы моделирования.

Поведение решений нестационарных и неавтономных систем дифф. уравнений, правые части которых зависят явно от времени t, определяется на мн-ве моментов времени мн-ве состояний X; в этом случае под фазовым пространством ( простр. событий) понимают мн-во .

1. Типы особых точек! а — устойчивый узел; б - неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — пространством (простр. событий) понимают мн-во неустойчивый фокус; д — седло; е — центр.

2. Предельные циклы: а — неустойчивый: б — устойчивый.

Лит.: Немыцкий В. В., Степанов в. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л., 1949 [библиогр. с. 541—546]; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. 9. Теория колебаний. М., 1959 [библиогр. с. 905—912]; Нелепин Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л., 1967 [библиогр. с. 438—447]; Флюгге-Лотц И. Метод фазовой плоскости в теории релейных систем. Пер. с англ. М., 1959. Р. А. Нелепин.

1
Оглавление
email@scask.ru