ОТНОШЕНИЕ

— одно из основных понятий современной математики. Роль О. особенно возросла в связи с теоретико-множественной реконструкцией всей математики, которая была проведена в 20 ст. Пусть Е — мн-во. Любое свойство, которым может обладать элемент х, задает в Е подмножество А всех элементов, обладающих этим свойством, и наоборот, задание подмножества определяет свойство элемента «х принадлежит А». Таким образом, свойство элементов Е полностью задается указанием некоторого подмножества А. В свою очередь, А может быть задано характеристической функцией принимающей на А значение 1 и на значение 0. Т. к. свойство «х справедливо при и ложно при , числа 1, 0 часто заменяются символами «истинно» и «ложно», так что область значений состоит из этих двух «нечисловых» символов. Т. о., логика свойств совпадает с алгеброй множеств. Логика отношений связывает разные элементы, устанавливая отношения между ними. Теоретико-множественное понятие О. соответствует понятию предиката в логике математической. Это соответствие изучается в моделей теории.

Пусть задано некоторое О. Р, в котором могут находиться (или не находиться) элементы х, у мн-ва Е, записанные в указанном порядке. Пары считаются упорядоченными, так что при х суть разные пары. Мн-во всех таких упорядоченных пар наз. произведением Е на (см. Множеств теория). Рассмотрим подмножество всех таких пар для которых х, у связаны О. Р. Тогда задание О. Р равносильно заданию А или характеристической ф-ции равной 1, если х и у связаны О. Р, и 0 — в противном случае. О. Р наз. рефлексивным, если и антирефлексивным, если симметричным, если и антисимметричным, если при х; транзитивным, если из следует Существует несколько важнейших типов О.

Отношения равенства. В этом случае при и у находятся в О. Р тогда и только тогда, когда они совпадают. На каждом множестве существует единственное О. равенства, изображаемое обычно в виде

Отношения эквивалентности. Так наз. рефлексивные, симметричные и транзитивные О. (общее обозначение: На данном мн-ве Е таких О. может быть много. Смысл О. эквивалентности обычно состоит в установлении некоторого сходства, родства между элементами по определенному признаку. Примеры О. эквивалентности: мн-во целых чисел, у означает, что х - у делится на (х, у «сравнимы по модулю d»). Это О. записывается в виде плоскость с координатами для точек эквивалентность у означает, что целые числа. трехмерное пространство, расстояние точки х от фиксированной точки О; означает Пусть -конечное мн-во, называемое «алфавитом», с элементами — мн-во слов из этого алфавита, т. е. конечных последовательностей его включая «пустое слово», не содержащее ни одной буквы. Выделим в Е конечное число слов и будем считать слова х, эквивалентными, если у получается из х конечным числом «элементарных операций», состоящих в удалении из слова или введении в слово сплошного куска, совпадающего с одним из . эквивалентности задает разбиение мн-ва Е на классы эквивалентности, определяемые следующим образом. Класс состоит из всех , для которых . Если , то так что разные классы не пересекаются и образуют разбиение Е. Всевозможные мн-ва и суть классы эквивалентности для данного О. Мн-во всех таких классов наз. фактор-множеством мн-ва Е

по О. Р (запись: ). Отображение , ставящее в соответствие элементу класс каноническим отображением для О. Р. Часто можно представить фактор-множество удобной «моделью» — мн-вом, находящимся в соответствии с примере (1) такой моделью служит мн-во вершин правильного -угольника; в получаемый из квадрата у 1 скмиванием противоположных сторон; в (3) — полупрямая где . Смысл перехода к фактор-множеству состоит в «огрублении» изучаемого объекта, когда интересуются только некоторыми свойствами элементов мн-ва, отождествляя те элементы, которые этими свойствами не различаются. Так, в примере (1) пренебрегают целыми кратными d; в (2) — отождествляют все точки, переходящие друг в друга при целочисленных сдвигах вдоль осей координат; в (3) — интересуются только расстоянием точки от 0; в (4) — пренебрегают частями слов, входящими в список . О. эквивалентности особенно важны в алгебре (см. Групп теория).

Отношение порядка. Так наз. антирефлексивные, транзитивные О. (общее обозначение: Если для любой пары либо , либо . порядка наз. линейным. Примеры упорядоченных имеет обычный смысл меньше у»; (6) Е — мн-во всех непрерывных действительных ф-ций на означает мн-во всех кортежей (упорядоченных последовательностей из действительных чисел); означает, что предшествует в лексикографическом расположении, т. е. для некоторого НО действительная ф-ция на означает, что . В примерах (5), (7) О. порядка линейно, а в (6), (8) — нет (иногда нелинейно упорядоченные мн-ва называют частично упорядоченными, см. Частично упорядоченное множество).

Пусть Е — упорядоченное мн-во, . Элемент наз. мажорантой (или минорантой) X, если для всех или соответственно, ограниченным сверху (снизу), если X имеет мажоранту (миноранту); если X ограничено сверху и снизу, ограниченным. Если во мн-ве мажорант (минорант) есть наименьший (наибольший) элемент z, то он наз. верхней (нижней) гранью X (обозначения: - для верхней и для нижней грани). Все эти понятия становятся наглядными для

Общее понятие отношения. Пусть есть произведение мн-в, т. е. мн-во всех кортежей . Отображение наз. -местным отношением (предикатом, логич. ф-цией) над Е. Мн-во всех кортежей, для которых определяет «свойство» кортежей: состоят в отношении Р тогда и только тогда, когда . При приходят к «свойствам элементов» при к двуместным О. . В случае бинарными. Теория бинарных О. находит в настоящее время самые широкие приложения. Достаточно сказать, что вся графов теория является по существу теорией бинарных О.

Рассмотрим трехместное О. Р, удовлетворяющее следующему требованию: для любых х, существует один и только один такой, что Тогда каждой паре ставится в соответствие однозначно определенный элемент , т. е. на Е задается бинарная операция. Т. о., обычные алгебр. операции — это частный случай трехместных О., удовлетворяющих, кроме предыдущего условия, еще и другим («аксиомам»). Понятие отображения тоже можно рассматривать как О.: если , то задается своим графиком К - множеством пар . График есть подмножество произведения мн-ва всех пар . Тем самым, задание равносильно указанию «свойства» элементов , т. е. заданию одноместного О. на . Лит.: Бурбаки Н. Начала математики, ч. I. Основные структуры анализа, кн. 2. Теория множеств. Пер. с франц. М., 1965; Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. М., 1968. Л. В. Гладкий.