ПОТОК СЛУЧАЙНЫЙ

— зависящее от случая множество точек на прямой или в пространстве R произвольной природы. Понятие П. с. возникло в математике как отражение различных физ. явлений (потока вызовов в телефонии, потока транспортных единиц, потока клиентов на предприятиях массового обслуживания, скопление звезд и др.). Наиболее развита теория П. с. для случая, когда R — числовая прямая или полупрямая

Если точки числовой прямой или полупрямой интерпретировать как моменты времени, то точки, принадлежащие П. с., можно рассматривать как моменты времени, в которые происходят события П. с. Поэтому П. с. на прямой наз. также потоками однородных событий. Поток однородных событий задается случайным процессом , где число событий потока в полуинтервале [0, t) при

число событий потока в полуинтервале при Поток однородных событий может быть задан и совокупностью конечномерных распределений где n — любое натуральное число, любые моменты времени, любые целые числа при при Такая совокупность конечномерных распределений эквивалентна совокупности конечномерных распределений случайных величин где однозначно определяется тем, что при при При момент наступления события П. с. (пвсле нулевого момента). Пример случайного процесса и случайных величин показан на рис. В общем случае несколько событий П. с. могут происходить и одновременно. В соответствии с этим, может возрастать скачками, большими 1, а случайное мн-во, определяющее П. с., содержать повторяющиеся элементы. П. с., для которого процесс с вероятностью 1 не имеет скачков, больших ординарным.

П. с. на прямой наз. стационарным, если при любом случайный процесс имеет такие же конечномерные распределения, как и процесс X (t). П. с. в -мерном пространстве наз. пространственно однородным, если для любого и любых ограниченных борелевских совместное распределение числа точек потока во мн-вах инвариантно относительно одновременного сдвига на произвольный вектор -мерного пространства. Каждый такой поток обладает интенсивностью ц и параметром X. Интенсивность стационарного П. с. есть математическое ожидание числа событий потока на отрезке единичной длины. Параметр потока где вероятность того, что в фиксированном интервале длины t произойдет хотя бы одно событие потока. Для стационарного П. с. всегда справедливо неравенство причем обе эти величины могут быть бесконечными. Для нестационарных П. с. также можно ввести характеристики, аналогичные параметру и интенсивности стационарного П. с.: мгновенная интенсивность мгновенный параметр

Для стационарных потоков однородных событий свойство ординарности потока эквивалентно тому, что вероятность происшествия двух или большего числа событий потока в интервале (0, t) есть величина порядка о при t 0. Для стационарных ординарных П. с. Королюка). Важными характеристиками стационарных П. с., помимо интенсивности и параметра, являются ф-ции Пальма-Хинчина. Если обозначить через вероятность того, что в интервале произошло хотя бы одно событие П. с., а в интервале к событий, предел отношения к определенной выше вероятности при будет ф-цией Пальма-Хинчина.

Любой стационарный П. с., с конечной интенсивностью обладает ф-циями Пальма-Хинчина ф-цию можно интерпретировать как вероятность условную происшествия к событий П. с. в интервале длины t, следующим за событием П. с. Обозначим через вероятность происшествия к событий стационарного П. с. в интервале длины t. Между ф-циями и ф-циями Пальма-Хинчина существует взаимно однозначное соответствие, а именно:

Ф-ции могут быть определены равенствами

где

Наибольшее применение в теоретических исследованиях и практических задачах получили П. с., которые можно охарактеризовать достаточно простой системой параметров или функций. К таким П. с. относятся поток с ограниченным последействием, Пальма поток, поток регулярный, поток без последействия, Пуассона поток и поток геометрический.

Значительная часть теории П. с. связана с выяснением условий сходимости потоков сложной структуры, отражающих различные физ. процессы, к П. с. простой структуры. Так, при суммировании большого числа малоинтенсивных П. с. результирующий П. с. при весьма широких условиях будет близок к потоку Пуассона.

П. с. Пуассона появляется также в качестве предельного потока в схеме разрежения П. с. Пусть имеется последовательность П. с. в пространстве R произвольной размерности.

Обозначим через число точек -го потока во мн-ве . Предположим, что для любой сферы А пространства R и некоторой последовательности выполняется соотношение

при любом , где некоторая интегрируемая ф-дия. Пусть событие П. с. остается в точке х с вероятностью независимо от остальных событий, где интегрируемая ф-дия. Тогда поток оставленных точек потока при сходится к П. с. Пуассона с пространственной плотностью

Рассмотрим П. с. с ограниченным последействием. Пусть ф-ция распределения интервала между событиями этого П. с.,

Если каждое событие П. с. оставлять с вероятностью s и обозначить через интервал между событиями П. с., которые были оставлены, то

Возможными пределами этого выражения при могут быть лишь ф-ции вида

где . Случай р = 1 соответствует сходимости разреженного П. с. в измененном масштабе времени к П. с. Пуассона.

Большую роль играют П. с. при исследовании случайных процессов. Это потоки различного рода событий, связанных с поведением процесса: П. с. пересечений уровня, максимумов, точек перегиба и т. п. Во многих случаях имеет место близость П. с. такого рода к П. с. Пуассона. Пусть имеется стационарный гауссовский процесс с корреляционной ф-цией р (s). Поток выходов такого процесса за неограниченно увеличивающийся уровень при соответствующем изменении масштаба времени сходится к П. с. Пуассона, если b

Многочисленные практические задачи привели к необходимости перенесения теории П. с. на пространства произвольной природы. В общем случае П. с. определяется следующим образом. Пусть — пространство элементарных событий — -алгебра событий, Р (А) — вероятностная мера, определенная при всех А из 21. Тогда П. с. есть отображение пространства в класс точечных мн-в заданного пространства R (напр., прямой). Обычно принимается предположение, согласно которому с вероятностью 1 в любой ограниченной части пространства (компакте) имеется лишь конечное мн-во точек П. с. При таком предположении П. с. можно задать случайной целочисленной мерой где А — любые ограниченные борелевские мн-ва пространства — точки пространства — число точек П. с., принадлежащих мн-ву Д. Т. к. вследствие принятого условия мн-во точек пространства R, образующее П. с., конечно или счетно, то П. с. можно задать также последовательностью этих точек , где

Для потоков в пространстве произвольной размерности, заданных случайной мерой , понятие ординарности определяется следующим образом. П. с. наз. ординарным, если с вероятностью 1 пространство R можно покрыть системой непересекающихся борелевских где могут зависеть от так, что для всех п.

В последнее время исследованы ведущая мера и параметрическая мера П. с., заданного на произвольном измеримом пространстве (в частности, таковым является -мерное пространство). Пусть П. с. задается случайной мерой , где А — мн-ва заданного пространства, со — элементарные события. Тогда ведущей мерой П. с. наз. ф-ция мн-ва А, равная матем. ожиданию Параметрической мерой П. с. наз. ф-ция мн-ва А вида

где подмножества мн-ва А, образующие разбиение этого мн-ва и такие, что вероятности, фигурирующие в указанной сумме, имеют смысл. В довольно общих условиях на нестационарные потоки в измеримых пространствах переносится теорема Королюка в терминах ведущей меры и параметрической меры П. с. См. также Поток нестационарный.

Лит.: Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М., 1963 [библиогр. с. 234—235]; Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1966 [библиогр. с. 421—428]; Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 379—388].

И. Н. Новаленко.