УСТОЙЧИВОСТИ КРИТЕРИИ

- математи чески сформулированные правила, позволяющие по виду дифференциального уравнения динамической системы, например, системы

автоматического регулирования, сделать заключение о ее устойчивости. Наиболее подробно У. к. разработаны для линейных стационарных систем вида

Для асимптотическои устойчивости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения

где при при имели отрицательные вещественные части. Поэтому правила, по которым можно судить о знаках вещественных частей корней уравнения (2), не решая его, являются У. к. для систем вида (1). Уравнение (2) может быть записано в виде

где — действительные числа, Неравенства относительно коэффициентов гарантирующие устойчивость системы алгебраическими У. к. К ним относятся, напр., критерии Рауса и Гурвица (см. Гурвица теорема).

Критерий Рауса. Для того, чтобы все корни характеристического уравнения (3) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все элементы столбца 1 таблицы Рауса были положительными. В строке 1 таблицы выписывают коэффициенты уравнения (3) с четными индексами, а в строке 2 — с нечетными.

В последующих строках выписывают коэффициенты определяемые формулами

Из критерия Рауса выводится важное следствие: все коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы должны быть одного знака. Для уравнений порядков это следствие определяет необходимые и достаточные условия устойчивости. Критерий Рауса весьма экономичен по объему вычислительной работы, и его алгоритмическая форма удобна для использования ЦВМ.

Критерий Гурвица. Для того, чтобы все корли характеристического уравнения (3) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица

были положительными. Определители строятся следующим образом: по главной диагонали откладываются коэффициенты Вправо по строке от этих элементов расположены коэффициенты с индексами, убывающими каждый раз на единицу, влево — с возрастающими.

Существенным недостатком алгебраических У. к. является то, что они не позволяют выяснить, каким образом нужно изменить параметры неустойчивой системы высокого порядка, чтобы сделать ее устойчивой. Применение критериев Михайлова и Найквиста позволяет избежать этого недостатка, а также исследовать устойчивость линейных систем с запаздыванием и с распределенными параметрами.

Критерий Михайлова. Рассматривая левую часть характеристического уравнения (3) как ф-цию комплексного переменного s, получим характеристическую функцию системы (1)

Характеристическая функция для линейной системы с запаздыванием является трансцендентной функцией от

где полином степени полином степени не больше — время запаздывания. К виду (4) приводятся также характеристические функции систем регулирования некоторых объектов с распределенными параметрами, напр., гидротурбины с трубопроводом. Подставив в выражение , где — действительная переменная, мнимая единица, получим ф-цию график которой в комплексной плоскости наз. кривой Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: для того, чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор характеристической ф-ции при изменении от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол т. е. последовательно прошел через квадрантов комплексной плоскости (рис. 1). Для обыкновенной линейной системы, у которой ф-ция вырождается в ф-цию

Критерий Найквиста. Пусть передаточная ф-ция разомкнутой системы автоматического регулирования удовлетворяет следующим условиям: 1) ф-ция является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси; целое число).

Кривая, описываемая концом вектора при изменении от до амплитудно-фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы (рис. 2).

1. Кривая Михайлова.

2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы: устойчива при устойчива при устойчива при

3. Геометрическая интерпретация критерия Попова: а) условие (6); б) условие (7).

Найквист установил зависимость между числом оборотов этой кривой вокруг точки в плоскости W и числом корней характеристического уравнения замкнутой системы, обладающих положительной вещественной частью. Для статических систем критерий Найквиста формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы при изменении от 0 до повернулся вокруг точки на угол часовой стрелки), где к — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью (рис. 2, а). Для проверки устойчивости астатической системы необходимо построить амплитуднофазовую характеристику разомкнутой системы и дополнить эту характеристику дугой бесконечно большого радиуса с центральным углом, JC равным — v (рис. 2, б, в). Критерий Найквиста (как и критерий Михайлова) применим к системам с запаздыванием и с распределенными параметрами, если их передаточные ф-ции удовлетворяют условиям (1—3). Критерий Найквиста получил широкое практическое применение, поскольку он применим в тех случаях, когда дифф. уравнения системы (или некоторых ее звеньев) не известны, а известны лишь их частотные характеристики, которые можно определить экспериментально.

У. к. для импульсных систем. Для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения вида (3) лежали внутри окружности единичного радиуса в плоскости комплексного переменного X. Если выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного X на плоскость комплексного переменного с помощью дробно-линейного преобразования то внутренность единичного круга отобразится на левую полуплоскость После такой замены комплексного переменного для исследования устойчивости импульсных систем автоматического регулирования можно применять все приведенные выше У. к.

Критерий Попова. математик В. М. Попов предложил частотный У. к. для определенного класса нелинейных систем. Пусть нелинейная система автоматического регулирования состоит из устойчивой линейной части с передаточной ф-цией , охваченной нелинейной обратной связью с характеристикой

где у — входной, выходной сигналы ЛЧ. Тогда замкнутая система устойчива, если

и при некотором значении параметра v и всех значениях от 0 до выполняется

неравенство

Условие (6) означает, что график ф-ции должен лежать в секторе, образованном осью абсцисс и прямой, проходящей через начало координат с коэффициентом наклона к (рис. 3, а). Условие (7) будет выполнено, если числа к, v выбрать так, чтобы годограф ф-ции

(т. н. видоизмененная частотная характеристика) лежал справа от прямой, проходящей через точки б).

В отличие от У. к. для линейных систем, критерий Попова устанавливает в общем случае лишь достаточные условия устойчивости. Имеется много модификаций критерия Попова — для импульсных систем, для систем со многими нелинейностями вида (5), для дифференцируемых, монотонных, нечетных и т. п. ф-ций (5) и др. (см. Устойчивости дискретных систем теория, Устойчивости непрерывных систем теория).

Лит.: Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М., 1963 [библиогр. с. 926—963]; Воронов А. А. Основы теории автоматического управления, ч. 1-2. М.- Л., 1965-66 [библиогр. ч. 1, с. 382—392; я. 2, с. 357—366]; Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М., 1972 [библиогр. с. 756—760]; Теория автоматического регулирования, кн. 1-2. М., 1967 [библиогр. кн. 1, с. 743-763; кн. 2, с. 653—674]. О. С. Яковлев.