ОПЕРАТОР

— 1) в математике — закон (правило), согласно которому каждому

элементу х множества X ставится в соответствие определенный элемент у множества . Мн-во областью определения и обычно обозначается . Мн-во значений У как правило, обозначается через Если значениями О. являются вещественные числа, то О. наз. функционалом.

Пусть X и У — метрические пространства (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе) с метрикой соответственно непрерывным в точке , если для любого найдется такое что Для всякой точки удовлетворяющей неравенству линейным, если: 1) D (А) — линейное пространство; 2) О. аддитивен, т. е. для всех из . однороден, т. е. для всех и любых чисел к Характерным примером линейного О. может быть прямоугольная матрица А, преобразующая вектор размерности в вектор размерности т.

Пусть теперь X и У — линейные нормированные пространства. О. Л из X в У наз. ограниченным, если существует такая постоянная с, что для всех х е D (А). Наименьшая из постоянных с, удовлетворяющих этому условию, наз. нормой оператора А и обозначается замкнутым, если из у вытекает, что Примером линейного замкнутого неограниченного О. может быть оператор дифференцирования: Обозначим через мн-во всех линейных О., отображающих X в У. Пусть последовательность линейных О. из . Если существует такой О. , что то последовательность О. наз. сходящейся по норме к О. А. Если для каждого фиксированного то последовательность О. наз. точечно сходящейся к О. А. Точечная сходимость функционалов наз. слабой сходимостью. Если , причем гдля любого для любого то О. Л и взаимно обратными. Если О. удовлетворяет лишь одному из предыдущих условий, то он наз. соответственно левым или правым обратным для , обладающий свойством для любого тождественным или единичным О.

Мн-во всех линейных функционалов определенных на линейном нормированном пространстве X, образует банахово пространство X, которое наз. пространством, сопряженным с X. Если для любого линейного функционала будет то говорят, что последовательность слабо сходится к элементу . Если X — гильбертово пространство, то где знак скалярного произведения в X. Пусть дан О. . В случае гильбертовых пространств , удовлетворяющий соотношению для всех , сопряженным с О. которого — замкнутое мн-во, т. е. R (А) содержит все свои предельные элементы, наз. нормально разрешимым. О. Л, отображающий всякое ограниченное мн-во в компактное мн-во, наз. вполне непрерывным.

Проиллюстрируем введенные понятия на примере линейного интегр. О.

Если к непрерывная в квадрате s 1, то — линейный ограниченный вполне непрерывный не обязательно нормально разрешимый О., отображающий пространство в себя, причем Если к суммируемая в квадрате ф-ция, т. е. то — линейный ограниченный вполне непрерывный О., отображающий пространство в себя, причем . В случае гильбертова пространства сопряженный оператор определяется равенством означает комплексно сопряженную величину).

2) О. в программировании — допустимое в данном языке программирования предписание, предназначенное для задания некоторого шага процесса обработки информации на ЦВМ. Типичными в программировании являются: О. присваивания, задающие начальное или новое значение переменным; О. перехода, определяющие порядок выполнения О. программы; О. цикла, определяющие мн-во значений некоторого параметра (управляющей переменной) и предписывающие повторное выполнение некоторой совокупности действий (управляемого О.) при этих значениях параметра; О. процедуры; О. ввода — вывода и др. Лит., Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 1965 [библиогр. с. 512—513]; Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М., 1969 [библиогр. с. 422—431].

В. В. Иванов, Е. Л. Ющенко.