R-ФУНКЦИИ

— отображения вида множества в Q, «родственные» в некотором смысле функциям -значной логики (в частности, при булевым функциям). -ф-ции впервые ввел сов. математик В. Л. Рвачев в 1963. Существует бесконечно много различных мн-в Л-ф-ций, каждое из которых вполне определяется заданием разбиения Q на систему подмн-в Пусть если Тогда отображение -ф-цией, соответствующей указанному разбиению мн-ва Q, если существует такая ф-ция -значной логики (см. Логика многозначная) что для всех выполняется равенство где Мн-ва можно рассматривать как некоторые качественные градации, на которые разбито мн-во Q. Каждому элементу х мн-ва соответствует определенный набор номеров этих «качеств». Для Л-ф-ций характерным является

то, что задание набора номеров «качеств» аргументов вполне определяет «качество» ф-ции. Напр., если Q — числовая ось, , — интервалы соответственно, то -ф-циями будут такие ф-ции обычных действительных аргументов, знак которых вполне определяется заданием наборов знаков аргументов, напр.: и т. д. Каждой соответствует определенная ф-ция логики, которая наз. сопровождающей. Так, для ф-ции сопровождающей является булева конъюнкция X Д У, так как R-ф-ции, которым соответствует одна и та же сопровождающая ф-ция логики, составляют ветвь мн-ва R-ф-ций и, следовательно, мн-во R-ф-ций разбивается на ветвей. Каково бы ни было разбиение мн-ва Q, соответствующее ему мн-во R-ф-ций является функционально замкнутым, т. е. сложная ф-ция (суперпозиция) R-ф-ций также является R-ф-цией. Система Н R-ф-ций, суперпозиции которых имеются в каждой ветви, наз. достаточно полной. Достаточно полными являются такие системы R-ф-ций, которым соответствуют полные системы сопровождающих ф-ций логики. Напр., в мн-ве R-ф-ций, соответствующих разбиению числовой оси на положительные и отрицательные числа, достаточно полной является система

Каждая ветвь этого мн-ва R-ф-ций содержит элементарные ф-ции, везде дифференцируемые заданное к-во раз.

R-ф-ции широко применяются в прикладной геометрии (задачи оптим. раскроя и упаковки, геом. миниатюризации аппаратуры), в программировании математическом (методы отыскания оптим. решений), в механике (контактные задачи теории упругости, изгиб и колебание пластин, кручение стержней сложного сечения), электродинамике (расчет полей, задачи дифракции), теплофизике, гидродинамике, в конструктивной теории ф-ций (обобщение ф-л Тейлора) и в др. отраслях науки и техники. Такой широкий диапазон применения R-ф-ций объясняется тем, что с их помощью удалось ввести в классический непрерывный анализ методы конечной математики и алгебры логики. В частности, с их помощью оказалось возможным существенно расширить средства аналитической геометрии, обеспечить возможность построения (в единой аналитической форме) ур-ний геом. объектов практически произвольной формы.

Применение R-ф-ций позволило преодолеть трудности, связанные с построением т. н. координатных последовательностей при решении краевых задач для ур-ний в частных производных в случае областей сложной формы при сложном характере краевых условий. Здесь основополагающим является понятие структуры решения краевой задачи. Обычно краевая задача ставится так. Требуется в некоторой области (Р) найти решение ур-ния А удовлетворяющее на границе Г области (Р) краевым условиям

где заданные ф-ции (в общем случае — вектор-ф-ции), А и заданные операторы, определенные соответственно внутри и на границе области (Р).

Пусть В — -местный оператор, такой, что ф-ция

где некоторая известная ф-ция, при любом выборе достаточное к-во раз дифференцируемых и ограниченных в (Р) ф-ций точно удовлетворяющая краевым условиям (1). В этом случае говорят, что ф-лой (2) определяется структура решения краевой задачи. Если, кроме того, существует возможность такого выбора неопределенных ф-ций что определит точное решение краевой задачи, то структура полной структурой. Наконец, структура полной в некотором смысле, если существует возможность такого выбора в определенном мн-ве ф-ций что ф-ция и будет сколь угодно близка (в указанном смысле) к точному решению и.

Вид структуры (2) определяется видом оператора В и ф-ции Очевидно, что этот вид зависит не только от вида дифф. операторов и заданных ф-ций но также и от формы области и формы участков границы, на которых заданы те или иные из краевых условий. Вся эта информация должна быть учтена при построении структуры на аналитическом уровне. Оказывается, что для многих типов краевых задач можно строить структурные ф-лы вида

где известные элементарные ф-ции. Структуры вида (3) с элементарными коэфф. наз. элементарными структурами.

Лит.: Рвачев В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. К., 1967 [библиогр. с. 207— 209]; Рвачев В. Л. Об одном расширении понятия Я-функций. «Кибернетика», 1971, Ne 4; Рвачев В. Л. Применение Я-функций к решению краевых задач математической физики. В кн.: Материалы семинара по численным методам решения внутренних краевых задач электродинамики СВЧ. М., 1971.

А. А. Ющенко,