НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

— задачи, не удовлетворяющие требованиям, которые характеризуют класс корректно поставленных задач, определяемый ниже. Задача определения z (решения) по входным данным и , где R — некоторый оператор, наз. корректно поставленной, если принадлежат многообразиям F и U, для элементов которых определено понятие расстояния , где метрические простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе) и если удовлетворяются требования: а) для всякого элемента существует решение z из F; б) решение определяется однозначно; в) решение должно непрерывно зависеть от входных данных, т. е. для всякого можно указать такое , что если , то . Последнее свойство наз. также свойством устойчивости задачи.

В матем. литературе в течение длительного времени была широко распространена точка зрения, согласно которой только корректно поставленные матем. задачи могут описывать физ. (или тех.) связи, явления. В частности, если задача неустойчива, то не может приближать если даже как угодно точно приближает их. Однако эту точку зрения, естественную в применении к некоторым явлениям, нельзя перенести на все зависимости и связи. Приведем примеры некорректно поставленных задач, представляющих как основной математический аппарат, так и приложения, по которым можно судить о широте этого класса задач и о его прикладном значении.

Пример 1. Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода со сколь угодно гладким

ядром (даже аналитическим)

Решение ищется в классе непрерывных ф-ций F. Уклонение правой части и будем оценивать в метрике а уклонение в метрике С, т. е.

Пусть для некоторой правой части и ф-ция является решением ур-ния (1). Если вместо ф-ции известно лишь некоторое ее приближение, мало отличающееся (в метрике ) от их то речь может идти лишь о нахождении приближенного к решения ур-ния (1). При этом правая часть и может и не обладать достаточной гладкостью. Она может быть получена в эксперименте, напр., с помощью самописца, и иметь угловые точки. При такой правой части ур-ние (1) не имеет решения, т. к. ядро является гладкой ф-цией. Следовательно, в качестве приближенного к решения ур-ния (1) нельзя брать точное решение ур-ния (1) с приближенно известной правой частью и . И этих условиях не выполняется требование (а) корректности задачи. Возникает принципиальный вопрос: что надо понимать под приближенным решением ур-ния (1) с приближенно известной правой частью? Кроме того, задача (1) не обладает свойством устойчивости, т. е. не выполняется требование (в) корректности задачи. В самом деле, ф-ция будет решением ур-ния (1) с правой частью

Очевидно, каково бы ни было число при достаточно больших значениях со уклонение а можно сделать сколь угодно малым, в то время как для соответствующих решений

Т. о., задача (1) является некорректно поставленной задачей. Описанная в этом примере ситуация является типичной для Н. п. з. К таким ур-ниям приводятся многие задачи физики и техники. Напр., задачи спектроскопии (определение распределения плотности энергии излучения по спектру на основании результатов измерения экспериментального спектра), ебрэтные задачи астрономии и др.

Пример 2. Задача дифференцирования численного ф-ции и известной приближенно. Пусть есть производная ф-ции и . Ф-ция в метрике С отличается от на величину при любых значениях С. Однако производная отличается от в метрике С на величину которая может быть произвольно большой при достаточно больших значениях со. Т. о., эта задача не обладает свойством устойчивости и, следовательно, является некорректно поставленной.

Н. п. з. являются также такие задачи: решение систем линейных алгебр, ур-ний в условиях равного нулю определителя системы (плохо обусловленные системы); задача Коши для ур-ния Лапласа; задача суммирования рядов Фурье, когда коэфф. известны приближенно в метрике 12; задача аналитического продолжения ф-ций, заданных на части области аналитичности; некоторые задачи программирования линейного; задачи минимизации функционалов, когда из сходимости значений минимизируемого функционала к значению минимума не следует сходимость минимизирующей последовательности; некоторые задачи оптим. управления и многие др.

Широким классом Н. п. з., возникающих в физике и технике, являются т. н. обратные задачи. Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется элементом вектором), принадлежащим многообразию . Часто недоступен для прямого изучения, и поэтому изучается некоторое его проявление , где — образ мн-ва F при отображении А. Очевидно, ур-ние имеет решение только для таких элементов и, которые принадлежат мн-ву . Элемент обычно получается путем измерения и потому известен лишь приближенно. Пусть и — это прибл. значение. В этих случаях может идти лишь о нахождении приближенного к решения ур-ния

При этом и, вообще говоря, не принадлежит мн-ву . Оператор А во многих случаях является таким, что обратный ему оператор не является непрерывным (напр., когда А — вполне непрерывный оператор, в частности, интегр. оператор примера 1). В этих условиях нельзя в качестве прибл. решения брать точное решение ур-ния (2) с прибл. правой частью, т. е. нельзя в качестве прибл. решения брать элемент , т. к. такого решения может не существовать, поскольку и может не принадлежать мн-ву AF (не выполняется требование (а) корректности; такое решение, если даже оно существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратный оператор не является непрерывным, тогда как условие устойчивости решения задачи (2) обычно является следствием ее физ. детерминированности, и поэтому прибл.

решение должно обладать этим свойством. Т. о., не выполняется требование (в) корректности. Следовательно, задача (2) является некорректно поставленной. Отсутствие устойчивости во многих случаях делает невозможной физ. интерпретацию результатов измерений. Выполнение этого условия необходимо также для использования численных методов решения задачи по прибл. входным данным.

Т. о., для Н. п. з. возникает принципиальной важности вопрос: что надо понимать под прибл. решением ур-ния ? Возникает также задача нахождения таких алгоритмов построения прибл. решений Н. п. з., которые обладают свойством устойчивости к малым изменениям входных данных (см. Некорректно поставленных задач способы решения).

В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.