УСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕЛИ

— свойство модели, состоящее в том, что отклонение ее реальных выходных сигналов от идеальных не превышает допустимо малых величин, если сигналы возмущающих воздействий находятся в заданных пределах, а независимые переменные модели изменяются на конечном интервале. В качестве идеальных принимаются выходные сигналы модели, реализующей абсолютно точно требуемые матем. зависимости, в которых нет сигналов воздействий. Понятие У. м. соответствует известной в матем. теории устойчивости понятию устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях ур-ний. Сигналы помех модели в матем. теории устойчивости наз. возмущениями ур-ний. Идеальные, реальные выходные сигналы модели и разность этих сигналов определяют соответственно невозмущенное, возмущенное движение и отклонение возмущенного движения от невозмущенного. Во многих случаях анализ У. м. можно свести к более простому анализу устойчивости движения по Ляпунову (см. Ляпунова методы).

У. м. инерционных объектов, движение которых описывается интегро-дифф. ур-ниями, зависит преимущественно от устойчивости моделируемых объектов, поскольку при исследовании с помощью модели неустойчивых объектов обычными методами разность между идеальными и реальными выходными сигналами модели в большинстве случаев достигает недопустимо больших значений. Однако неустойчивость указанных моделей, а также моделей безынерционных объектов, которые описываются алгебр, ур-ниями, может быть обусловлена и неидеальностью самих моделей: паразитными источниками инерционности (напр., сосредоточенными и распределенными паразитными емкостями и индуктивностями), отклонениями от номинала параметров модели, погрешностью аппроксимаций функциональных зависимостей или методов поиска экстремумов и т. д.

Паразитные источники инерционности оказывают большое влияние на У. м. в том случае, когда схема набора модели содержит замкнутые безынерционные контуры, в состав которых не входят инерционные блоки (интегрирующие, апериодические и т. д.), замкнутые контуры с четным числом блоков, выполняющих операции инвертирования знака их входных сигналов совместно с др. матем. операциями. Так, модель обычно бывает неустойчивой, если в состав ее схемы набора, реализованной на базе усилителей операционных, входят замкнутые безынерционные контуры с четным числом усилителей и с коэфф. передачи в разомкнутом состоянии .

Возможность существования эффекта неустойчивости таких моделей иллюстрируется следующим примером. Пусть в модели (рис. 1) безынерционного объекта, описываемого системой ур-ний

где передаточные ф-ции сумматора по каждому входу из-за влияния паразитных

зитных параметров, инерционности усилителей имеют вид к: комплексная переменная, . При этом полюса изображения по Лапласу для выходных сигналов модели имеют положительные вещественные части, что говорит о неустойчивости модели. Появление в схеме набора модели замкнутых безынерционных контуров возможно не только при моделировании безынерционных объектов, но и при моделировании объектов, движение которых описывается системой обыкновенных дифф. ур-ний, содержащих производные одного порядка нескольких зависимых переменных. Так, в схеме набора модели объекта, движение которого описывается системой ур-ний

где содержится замкнутый контур, выделенный на рис. 2 жирной линией, с коэфф. Неустойчивые отдельные контуры, входящие в модель, обычно являются причиной неустойчивости всей модели, что и имеет место в рассмотренном случае.

Исследование объекта с помощью модели надо начинать с проверки У. м. Для этого можно подвергнуть небольшим вариациям ее входные сигналы, начальные условия, параметры. Если данные вариации приводят к небольшим изменениям решения, то имеет место У. м. В противном случае добиваются устойчивости путем проведения соответствующих преобразований, для чего предварительно необходимо определить причину неустойчивости. С этой целью во многих случаях можно использовать прямые методы Ляпунова. Но из-за сложности этих методов на практике обычно пользуются более простыми критериями устойчивости, которые применимы в частных случаях: алгебр, критерием Раусса — Гурвица, частотными критериями Михайлова, Найквиста и т. д. (см. Устойчивости критерии).

Для обеспечения У. м. неустойчивого объекта, движение которого описывается системой ур-ний

, целесообразно использовать переменный масштаб каждой зависимой переменной объекта:

где а — достаточно большое положительное число. После подстановки выражения (3) в систему (2) эта система имеет вид

Величину а можно выбирать экспериментальным путем или с помощью известных оценок наибольших собственных чисел матриц, если в (2) коэфф. являются постоянными. При экспериментальном определении а варьируют

1. Схема набора модели, которая при неустойчива из-за инерционности сумматоров-инверторов.

2. Схема набора модели инерционного объекта, содержащая неустойчивый замкнутый безынерционный контур.

3. Схема набора модели, иллюстрирующая возможность исключения безынерционных контуров.

4. Схема решающих апериодических блоков, устойчивость которых зависит от величин сопротивлений и емкостей

диагональные коэфф. матрицы ур-ний (2) до тех пор, пока модель станет устойчивой. При моделировании некоторых неустойчивых нелинейных объектов можно также применять переменный масштаб вида (3).

Преобразованием, часто приводящим к устойчивым моделям неустойчивых объектов, движение которых описывается дифф. ур-ниями с краевыми условиями, является изменение масштаба независимой переменной . Т. о., задача решается в «обратном времени». При этом все функциональные зависимости в исходных ур-ниях должны быть однозначными. Для моделей линейных объектов преобразование приводит к положительному результату в том случае, когда все корни характеристического ур-ния движения объекта имеют положительные вещественные части. Методика моделирования неустойчивых объектов в общем случае разработана еще недостаточно. При определении условий устойчивости объекта особое внимание уделяют уменьшению влияния неидеальности модели на ее устойчивость.

Для этого из схемы набора модели исключают безынерционные неустойчивые контуры, если они имеются, приводя исходную систему дифф. ур-ний к нормальному виду. Напр., после исключения производных в правых частях ур-ний системы (1) при эта система приобретает вид

где Схема набора модели (рис. 3) для решения ур-ний (5) не содержит, в отличие от схемы (рис. 2), замкнутых безынерционных контуров. Если составленная согласно неприведенным к нормальному виду исходным дифф. ур-ниям структурная схема модели, содержащая при этом безынерционные замкнутые контуры, не отражает структуры объекта, то исследовать его можно с помощью модели, структурная схема которой составлена согласно приведенным к нормальному виду исходным дифф. ур-ниям. В противном случае это говорит о том, что при матем. описании движения объекта не были учтены существенные малые параметры. Для продолжения исследований на модели целесообразно уточнить матем. описание объекта. В модели должны быть устойчивыми также все решающие блоки (суммирующие, интегрирующие, нелинейные и т. д.) в режиме автономного функционирования при всех возможных входных сигналах. К устойчивости решающих блоков могут приводить дополнительные корректирующие связи в различных участках схемы блоков, напр., включение емкости в цепь обратной связи операционного усилителя. Однако такие дополнительные связи обычно приводят к увеличению динамических погрешностей блока при быстро изменяющихся входных сигналах. Если применение корректирующих связей нежелательно или не приводит к требуемому эффекту, то следует изменить параметры схемы решающего блока или всю схему. Напр., решающие блоки (рис. 4) при малых величинах сопротивлений и достаточно больших значениях емкостей будут неустойчивыми из-за влияния инерционности усилителя. Для достижения устойчивости можно уменьшить величины и увеличить

Если в схеме набора модели отсутствуют неустойчивые блоки и контуры, а решающие блоки выполняют требуемые матем. операции с меньшими погрешностями, чем погрешности матем. описания моделируемого инерционного объекта, то можно считать, что неидеальность модели практически не влияет на ее устойчивость. Для уменьшения влияния различных паразитных источников инерционности на У. м. безынерционного объекта, схема набора которой состоит из суммирующих усилителей и потенциометров установки масштабных коэфф., включают в схему дополнительные интегрирующие или (вместо суммирующих) апериодические блоки. Постоянные времени этих блоков во много раз превышают постоянные времени, обусловленные паразитными параметрами. При этом исходная система алгебр, ур-ний

преобразуется в систему дифф. ур-ний

(А - матрица, — диагональная матрица, b — вектор-столбец коэфф.). Решив (7), получают значение вектора х, если собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, поскольку только при данном условии система (7) описывает устойчивое движение. Модель, реализованная на базе операционных усилителей современных АВМ по методу непосредственного моделирования, в большинстве случаев работает устойчиво, если все диагональные элементы матрицы А одного знака и превосходят абсолютные значения недиагональных элементов, стоящих в той же строке и том же столбце. Если матрица А не удовлетворяет данному условию, то путем перестановок столбцов или строк местами в некоторых случаях несложно привести ее к требуемому виду. Другой способ обеспечения устойчивости в случае неособенной матрицы А состоит в том, что обе части ур-ний (7) предварительно умножают на транспонированную матрицу А:

Собственные числа матрицы всегда имеют отрицательные вещественные части, поэтому модель, описываемая ур-нием (8), является устойчивой. Схемы набора для решения ур-ния (8) характеризуются тем, что каждый из коэфф. матрицы А дважды вводится в схему.

Если модели инерционных или безынерционных объектов реализованы с помощью гибридных решающих блоков, в которых используются аналоговая и цифровая формы

Представления информации, то на У. м. влияют дополнительные факторы: квантование во времени по уровню, запаздывание, устойчивость ВЫЧЙСЛ; алгоритмов цифровых блоков и др. При анализе устойчивости гибридных моделей применяются классические критерии устойчивости импульсных систем, а также Эмпирические упрощенные критерии.

Лит.: Коган Б. Я. Электронные моделирующие Устройства и их применение для исследования систем автоматического регулирования. М., 1963 [библиогр. 6, 494—505]; Демидович Б. П. Лекции по математической теоюии устойчивости. М., 1967 [библиогр. с. 466—469]; Пухов Г. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. К., 1967 (библиогр. с. 560—564]; Всрлань А. Ф., Годлевский B. C. Моделирование трансцендентных уравнений при исследовании устойчивости. «Автоматика и телемеханика», 1963, № 9; Рыбашов М. В., Дудников Е.Е. Градиентные методы решения линейных равенств, неравенств и задач линейного программирования на аналоговых вычислительных машинах. М., 1970 [библиогр. с. 14.1 — 142]; Лебедев А. Н. Применение аналоговых вычислительных устройств в судовых системах автоматического управления. Л., 1970 [библиогр. с. 304— 309]; Парод и М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение. Пер. с франц. М.. 1960 [библиогр. с. 162—166].

В. С. Годлевский, П. А. Мптевосян.