МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

— автоматические системы, у которых число как управляемых координат, так и управляющих воздействий равно двум и более. Специфика М. с. а. у. заключается в том, что поведение каждой управляемой координаты определяется не только управляющим воздействием , а (в общем случае) всей совокупностью этих воздействий образующих вектор управления U, а также вектором возмущающих воздействий А. Необходимость в создании М. с. а. у. возникает в тех случаях, когда требуется управлять одновременно несколькими взаимосвязанными параметрами некоторого физ. процесса. В качестве примера можно привести систему стабилизации частоты и напряжения генераторов в энергосистемах, систему управления скоростью вращения и т-рой газов в турбореактивных двигателях, систему управления толщиной проката в различных пролетах прокатного стана с помощью управления скоростью вращения и степенью поджатия валков и т. п. В ряде случаев применение М. с. а. у. является единственным способом достижения цели управления.

Типовая блок-схема многомерной системы представлена на рис. В общем случае размерности векторов регулирующих воздействий U, управляемых координат Y и возмущений А могут отличаться друг от друга. Как и одномерные системы, М. с. а. у. можно классифицировать по принципу управления — на замкнутые, разомкнутые (со связями по возмущениям, на рис. связи показаны пунктиром) и комбинированные системы автоматического управления; по способу передачи сигналов — на непрерывные и дискретные системы управления; по характеру функциональных связей между координатами системы — на линейные и нелинейные системы управления, по назначению — на стабилизации системы, следящие системы, системы программного управления и самонастраивающиеся системы (в частности, системы экстремального регулирования).

Матем. описание М. с. а. у. может быть выполнено с помощью характеристик «вход — выход» и в категориях пространства состояний. В исследованиях часто ограничиваются описаниями лишь линейных М. с. а. у., у которых число входных и выходных координат одинаково. Непрерывные линейные М. с. а. у. могут быть описаны (в категориях характеристик «вход — выход»):

а) системами дифференциальных уравнений

где — -матрицы с элементами и (D), представляющими собой многочлены оператора дифференцирования выходной и входной векторы соответственно;

б) векторно-матричным уравнением свертки

где реакция М. с. а. у. на ненулевые начальные условия, которая определяется начальными значениями координат и корнями характеристического уравнения, а весовая -матрица (матрица импульсных переходных функций), каждый элемент которой представляет реакцию -выхода на дельта-функцию, действующую на

-вход, при всех остальных входах, равных нулю, и при нулевых начальных условиях;

в) передаточными матрицами. Преобразование Лапласа матрицы определяет передаточную матрицу (матрицу передаточных функций) , которую можно также определить, преобразовав по Лапласу (при нулевых начальных условиях) уравнение , где — параметр преобразования Лапласа.

Передаточные матрицы и другие характеристики «вход — выход» рассматриваются в обшем виде как для замкнутых, так и для разомкнутых систем. Между передаточными матрицами замкнутых и разомкнутых М. с. а. у. существуют соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям для передаточных функций. Так, если передаточная матрица объекта управления, связывающая векторы передаточная матрица управляющего устройства (см. рис.), то передаточная матрица замкнутой системы по задающему воздействию (-вход, -выход) имеет вид

где Е — единичная матрица. Если вектор возмущений действующий на объект, связан с вектором у передаточной матрицей то передаточная матрица замкнутой системы по возмущению отсутствии управляющего устр-ва по возмущению) имеет вид

Характеристическое уравнение замкнутой М. с. а. у. имеет вид

где — определитель соответствующей матрицы.

Характеристики «вход — выход» описывают только полностью управляемую и полностью наблюдаемую часть системы (см. Наблюдаемости и управляемости условия). Движения неуправляемой или ненаблюдаемой частей М. с. а. у., среди которых в общем случае могут иметь место и неустойчивые движения, не могут быть описаны характеристиками «вход — выход». В этом смысле наиболее полное описание М. с. а. у., охватывающее также движения ее неуправляемых и ненаблюдаемых частей (если таковые имеются), гарантируется описанием в категориях пространства состояний, т. е. с помощью системы уравнений 1-го порядка вида

где -вход и -выход всей замкнутой системы (см. рис.) — -мерные векторы, а размерность вектора X равна N, причем Числовые матрипы А, В, С имеют размеры соответственво. От описания М. с. а. у. типа (6) можно легко перейти к характеристикам «вход — выход».

Так, преобразовав по Лапласу (6) при нулевых начальных условиях, передаточную матрицу системы , аналогичную в даном случае в (3), можно определить как . Характеристическое уравнение в этом случае можно записать в виде

Если выполняются условия наблюдаемости и управляемости, то корни уравнения (7) (собственные числа матрицы А) совпадают с корнями (5).

Блок-схема многомерной системы автоматического управления.

Если же сокращение полюсов передаточных функций, входящих в матрицу нулями передаточных ф-ций матрицы управляющего или корректирующего устройства приводит к появлению неуправляемых и ненаблюдаемых частей, то соответствующие корни исчезают в (5), но остаются в (7).

Для линейных дискретных М; с. а. у. применяют соответствующие дискретные аналоги, а именно:

а) системы разностных уравнений: , где оператор сдвига на один интервал с элементами являющиеся полиномами относительного оператора ;

б) дискретные аналоги интегр. свертки: , где весовая матрица, реакция на ненулевые начальные условия;

в) передаточные матрицы; , где интервал дискретности) — символ Лапласа дискретных преобразований. Соотношения, аналогичные (3, 4), имеют место и для дискретных М. с. а. у. Уравнение в терминах простр-ва состояний

имеет вид

где под матрицами А, В, С и векторами X, Y, V подразумевается то же, что и в (6).

Устойчивость лииейиых М. с. а. у. имеет место, если корни характеристического ур-ния (7) замкнутой М. с. а. у. расположены в левой полуплоскости комплексного переменного. Если система полностью управляема и наблюдаема, то проверку условий устойчивости можно производить и по расположению корней характеристического уравнения (5). Для устойчивости дискретных М. с. а. у. необходимо, чтобы корни соответствующего характеристического ур-ния располагались внутри окружности единичного радиуса. Проверку этих условий без нахождения корней характеристического уравнения можно выполнить алгебр, или частотными методами (см. Гурвица теорема, Устойчивости дискретных систем теория, Устойчивости критерии). Поскольку для М. с. а. у. большой размерности раскрытие определителя типа (5, 7) сопряжено с громоздкими вычислениями, то проверку условий устойчивости и построения областей устойчивости в пространстве параметров таких М. с. а. у. производят на ЭЦВМ. Частотные критерии Попова, Якубовича, Цыпкина широко используются и для анализа устойчивости нелинейных М. с. а. у. специального вида (см. Устойчивости непрерывных систем теория). Более общие результаты по анализу устойчивости нелинейных М. с. а. у. могут быть получены Ляпунова методами. Если можно определить корни характеристического уравнения М. с. а. у., то анализ качества М. с. а. у. можно выполнить известными методами по расположению этих корней в комплексной плоскости (см., напр., Корневого годографа метод). В ряде частных случаев (двумерные М. с. а. у., М. с. а. у., состоящие из одинаковых подсистем, связанных между собою безынерционными связями и т. п.) анализ качества весьма эффективно производят, используя известные приемы частотных методов анализа качества одномерных систем (см. Систем автоматического управления анализ, Частотные характеристики систем автоматического управления).

Методы синтеза М. с. а. у. (см. Систем автоматического управления синтез) выбирают в зависимости от цели, стоящей перед конструктором М. с. а. у. Так, одним из наиболее известных подходов к синтезу М. с. а. у. является синтез управляющего устр-ва по условиям автономности. Под автономностью М. с. а. у. понимают независимое друг от друта изменение управляемых координат, что эквивалентно расчленению системы уравнений, описывающей динамику М. с. а. у., на n независимых уравнений отдельных контуров. Для линейных систем эти условия имеют вид , где то же, что и в (3). Это означает, что отдельные элементы многомерного управляющего устройства следует выбрать так, чтобы произведение его передаточной матрицы и передаточной матрицы объекта было диагональной матрицей. Одиако не во всех случаях условия автономности обеспечивают иаилучшее качество функционирования М. с. а. у. Если имеется возможность измерить вектор возмущений , то синтез высокоточных и быстродействующих М. с. а. у. можно осуществить, используя теорию инвариантности систем автоматического управления. Существенные результаты получены в решении задачи синтеза М. с. а. у. при стационарных случайных воздействиях. Если в (2) входной сигнал состоит из полезного случайного сигнала г и помехи с заданными матрицами корреляционных функций, то задача заключается в определении весовой матрицы G (t), доставляющей минимум функционалу гДе средиеквадратичная погрешность между истинными и желаемыми значениями выходной величины. Если структура системы не задана, то матрицу находят, распространив методы решения задачи Винера (см. Винера—Хопфа уравнение аервого рода) на многомерный случай. Если элементы заданы, то указанный функционал можно минимизировать, изменяя варьируемые параметры весовых функций Оптимальных параметров системы выбор).

Проблема синтеза оптимальных М. с. а. у. тесно связана с задачами вариационного исчисления и программирования математического. Так, в некоторых случаях функционал, характеризующий качество работы системы, может иметь вид линейной формы установившихся значений координат системы при линейных ограничениях , где А — -числовая матрица n-мерный вектор Тогда значение вектора U, минимизирующего (максимизирующего) форму I, отыскивают методом программирования линейного. Но чаще всего функционал качества представляет собой нелинейную ф-цию координат. Так, напр., если движение многомерного объекта управления описывается уравнением вида (6) (с заменой на ), то в большинстве случаев функционал качества имеет вид где квадратичная форма, L, М — матрицы ( соответственно) весовых коэффициентов, знак означает транспонирование. В этом случае отыскание управления U как функции координат пространства состояний X, экстремизирующего функционал может быть выполнено методами программирования динамического, программирования нелинейного, использованием Понтрягина принципа максимума и т. д. Поскольку

функция V, входящая в функционал аналогична ф-ции Ляпунова, то существует глубокая связь между синтезом оптимальных М. с. а. у. и методами Ляпунова. Если показатель качества работы М. с. а. у. представляет собой нелинейную ф-цию установившихся значений управляющих координат U и возмущений , то отыскание экстремума по U для различных возмущений может быть выполнено многомерной системой экстремального регулирования.

Синтезированные алгоритмы управления М. с. а. у. достаточно сложны, поэтому реализация современных М. с. а. у. основана на широком использовании новейших достижений вычисл. техники.

Лит. Мееров М. В. Системы многосвязного регулирования. М., 1965 [библиогр. с. 381—384]; Катковник В. Я., Полуэктов Р. А. Многомерные дискретные системы управления. М., 1966 [библиогр. с. 410—413]; Чинаев П. И. Методы анализа и синтеза многомерных автоматических систем. К., 1969 [библиогр. с. 372—375].

К. Д. Жук, А. А. Туник, П. И. Чинаев.