СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

— в узком смысле — случайный процесс обладающий свойством: распределения случайных векторов вида не зависят от h; в широком смысле — случайный процесс на действительной прямой обладающий свойством: математическое ожидание не зависит

от t, а корреляционная функция зависит лишь от разности t — s. Всякий С. с. п. в узком смысле, для которого стационарен и в широком смысле. Для действительных гауссовских случайных процессов стационарность в широком смысле влечет за собой стационарность в узком смысле. Ниже рассмотрены С. с. п. только в широком смысле. С. с. п. с непрерывной корреляционной ф-цией допускает спектральное представление вида

где — некоторый комплекснозначный случайный процесс с ортогональными приращениями. Для корреляционной ф-ции справедливо следующее представление:

где некоторая неотрицательная, ограниченная и монотонно неубывающая ф-ция, называемая спектральной функцией С. с. п. Если F (X) абсолютно непрерывна, то

где спектральная плотность процесса

Спектральные представления С. с. п. и их корреляционных ф-ций являются эффективным средством изучения многих физ. процессов (тепловые шумы в электр. цепях, случайные флуктуации в линейных системах, шумы атмосферной турбулентности, акустические и атмосферные помехи и т. д.).

Важный класс образуют С. с. п. с дробнорациональными спектральными плотностями. Такие процессы применяют при исследовании задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем. В качестве примера можно привести линейную динамическую систему с определенными параметрами, работа которой описывается линейным дифф. ур-нием с постоянными коэфф. Если во время работы системы на ее входе воздействует стационарная помеха типа «белого шума», на ее выходе образуется С. с. п., обладающий дробно-рациоиалыюй спектральной плотностью.

Во многих областях техники широко применяют С. с. п., спектральные ф-ции которых сосредоточены на конечном интервале Для таких процессов справедливо следующее представление:

Иными словами, значение случайного процесса в любой момент времени t однозначно восстанавливается по значениям процесса в равпоотстоящие моменты времени . Такое представление известно в литературе как теорема Котельникова — Шеннона. Его применяют в статистической радиотехнике, радиолокации, теории информации передачи и в др. областях техники.

Широкое применение находят линейные преобразования С. с. п. Линейным преобразованием С. с. п. преобразование вида где ф-ция спектральной характеристикой данного линейного преобразования, либо среднеквадратическим пределом выражений указанного вида. Линейные преобразования С. с. п. можно реализовать с помощью таких тех. средств, как линейные фильтры, усилители, согласующие звенья и т. д.

Для С. с. п. могут быть поставлены задачи линейного прогнозирования, линейной экстраполяции и интерполяции. Задача линейного прогнозирования сводится к оценке значений некоторой случайной величины , являющейся линейным функционалом от С. с. п. Задача линейной экстраполяции заключается в прогнозировании процесса в будущее, т. е. по значениям процесса определяют наилучший прогноз неизвестных значений Процессы, для которых возможен безошибочный линейный прогноз при любом линейно-сингулярными процессами. Такими процессами являются, напр., процессы с ограниченными спектрами. Задача линейной интерполяции сводится к наилучшему линейному прогнозу неизвестных значений С. с. п. на отрезке по всем остальным его значениям, соответствующим или

Некоторым обобщением С. с. п. являются стационарные стационарно связанные процессы для которых взаимная корреляционная ф-ция

Для этих процессов можно поставить задачу линейной фильтрации, т. е. по наблюдаемым значениям процесса определить наилучший прогноз неизвестных значений процесса . С перечисленными задачами тесно связана теория оптим. линейной фильтрации, когда по заданному входному случайному процессу нужно синтезировать оптим. линейную систему, формирующую процесс с заданными свойствами на выходе этой системы. Эта теория нашла применение при решении многих задач автоматического управления теории, радиолокации, теории обнаружения сигналов и т. д. Применение теории оптим. фильтрации стационарных процессов в теории обнаружения сигналов привело к синтезу согласованного фильтра, с помощью которого легче всего обнаружить заданный неслучайный сигнал на фоне стационарной помехи.

Решение многих задач теории С. с. п. тесно

связано с решением интегр. уравнения, родственного Винера—Хопфа уравнению. Для стационарных в широком смысле случайных процессов с дробно-рациональными спектральными плотностями разработаны методы решения уравнения

в случае, если ф-ция определена на конечном интервале . Стационарные в узком смысле случайные процессы в широких предположениях обладают эргодическим свойством (см. Эргодическая теория), состоящем в том, что с вероятностью 1 существует предел

Эргодическое свойство устанавливает равенство с вероятностью среднего по простр. реализаций и временного среднего по одной реализации. Это свойство лежит в основе работы приборов (коррелометров), предназначенных для измерения корреляционных ф-ций реально существующих физ. процессов (см. Коррелятор).

Лит.: Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М., 1963 [библиогр. с. 280—284]; Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М., 1965 [библиогр. с. 648— 654]; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М., 1967 [библиогр. с. 481—487]; Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 379—388]. А. Я. Демеппн.