Главная > Энциклопедия кибернетики. Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Пусть А и В — линейные дифф. операторы в частных производных. Нетривиальные решения ур-ния

удовлетворяющие заданным однородным краевым условиям

где некоторый дифф. оператор, наз. собственными функциями задачи соответствующие им значения параметра А — собственными значениями ур-ния (1). Если тождественный оператор), то вместо (1) получаем ур-ние

часто встречающееся в различных разделах математики и ее приложениях.

Напр.: а) с. з. задачи для прямоугольной области , где А — оператор Лапласа, определяются по ф-ле

б) если (бигармонический оператор), а область — круг, то при условиях

производная по направлению нормали к контуру) ур-ние (3) приводится к обыкновенному дифф. ур-нию, и с. з. определяются через корни ф-ций Бесселя; в) если , а область — прямоугольник, то при условиях на двух противоположных сторонах прямоугольника (условия на двух остальных сторонах — любые), решение ур-ния (3) ищем в виде

В (4) - неизвестная ф-ция. Подставив (4) в (3) и разделив переменные, получим обыкновенное дифф. ур-ние 4-го порядка относительно ф-ции Найдя общее решение этого ур-ния и подчинив его заданным краевым условиям, получаем трансцендентное ур-ние, корни которого определяют значения параметра С. з. задачи

( для прямоугольника вычисляют по )

Если точное решение ур-ния (1) или (3) получить невозможно, с. з. определяют с помощью различных прибл. методов.

Метод Релея — Ритца применяют для ур-ния (3) с положительно определенным оператором, с. ф. которого обладают важными экстрем, свойствами, позволяющими свести задачу определения с. з. к исследованию экстремума функционала

Последнюю задачу решают по методу Релея — Ритца: задают последовательность координатных ф-ций линейное нормированное простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), в котором норму элемента задаем равенством которые при любом линейно независимы и образуют полную систему в энерг. простр. ; прибл. решение ур-ния (3) представляется в виде

из условия минимума функционала (5) при получаем систему линейных однородных ур-ний относительно коэфф.

приравняв определитель системы (7) нулю, приходим к ур-нию степени относительно А,

Все корни ур-ния (8) — положительны. Если их расположить в порядке возрастания, т. е. то каждый из этих корней является прибл. значением соответствующего с. з. исходного ур-ния (3), причем

Метод Релея — Ритца эффективен при вычислении первых с. з. и дает для этих значений приближения сверху При вычислении с. з. с большими номерами возникают трудности, связанные с аппроксимацией с. ф.

линейной комбинацией (6): как правило, в выражении (6) приходится брать достаточно большое к-во координатных ф-ций, что очень усложняет процесс вычислений и может привести к накоплению больших округления погрешностей. Удачный выбор координатных ф-ций существенно влияет на точность прибл. решений, получаемых по методу Релея — Ритца. В частности, если ф-ции образуют ортонормиро-ванную систему, то ур-ние (8) упрощается и приобретает вид

В методе Бубнова — Галеркина прибл. решение ур-ния (3) представляется в виде (6), где последовательность ф-ций, достаточное к-во раз дифференцируемых и удовлетворяющих всем краевым условиям, а также условиям линейной независимости и полноты. Проектируя невязку на подпростр., образованное ф-циями и требуя выполнения условия ортогональности

получаем систему ур-ний вида (7) относительно Приравняв определитель этой системы нулю, снова приходим к ур-нию вида (8). Если оператор А — положительно определенный, то методы Релея — Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают. В общем случае метод Бубнова — Галеркина имеет большую область применимости, в силу менее жестких ограничений, накладываемых на оператор А.

Асимптотический метод разработан в связи с решением задач о свободных колебаниях пластин и оболочек. Пусть требуется определить частоты собственных колебаний пологой, прямоугольной в плане оболочки с постоянными главными кривизнами. Эта задача приводится к интегрированию дифф. ур-ния порядка вида

где а, b, с — const. Согласно этому методу, рассматриваются т. н. «внутреннее» решение, которое удовлетворяет ур-нию (10), но, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, и решение в окрестности границы, удовлетворяющее всем граничным условиям и стремящееся асимптотически к «внутреннему» решению при удалении от границы области. Склеивая эти два решения, получают трансцендентные ур-ния для вычисления неизвестных параметров, которые входят в выражение для с. з. В качестве «внутреннего» решения ур-ния (10) можно взять выражение

где нормирующий множитель, подлежащие определению параметры. В окрестности линии решение определяется в виде

Подстановка (12) в (10) приводит к дифф. ур-нию порядка с постоянными коэфф. относительно

Применение асимптотического метода возможно, если среди корней характеристического ур-ния, соответствующего ур-нию (13), найдется не менее трех корней с отрицательной действительной частью. Напр., если общий интеграл ур-ния (13) имеет вид

Свеах

то, отбрасывая члены, неограниченно возрастающие с увеличением х, получаем в окрестности границы прибл. решение

где

Выражение (15) позволяет удовлетворить всем краевым условиям на линии предельному соотношению

Метод конечных разностей состоит в замене дифф. оператора и операторов краевых условий конечноразностными выражениями, в результате чего исходная задача заменяется некоторой ее дискретной моделью

Задача (17) равносильна вычислению собственных векторов и с. з. матрицы (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы, вычисления), порядок которой определяется к-вом внутренних узлов сеточной области. Переход от ур-ния (3) к его дискретному аналогу (17) возможен для произвольных областей и произвольных операторов, в частности, для тех, которые содержат переменные

коэфф. Это придает методу конечных разностей достаточную универсальность. Но если краевые условия содержат производные высоких порядков (а это часто бывает в практически важных задачах), то для произвольных областей возникают трудности, связанные с аппроксимацией краевых условий конечноразностными выражениями.

Метод приближенного разделения переменных (метод расщепления) применяют для прямоугольных областей, если оператор А имеет вид

а оператор В либо является тождественным оператором, либо содержит лишь производные с постоянными коэфф. Этот метод применим и для дискретных, и для непрерывных задач при самых общих краевых условиях. Если задачу (1) — (2) заменить дискретным аналогом, то этот метод позволяет найти достаточно хорошее нулевое приближение для полной проблемы с. ф. и с. з. разностной задачи, минуя вычисление корней характеристического определителя. Это приближение затем может быть уточнено одним из известных итерационных методов решения алгебр, проблемы с. з. и собственных векторов. Метод особенно эффективен при вычислении с. з., соответствующих высшим формам колебаний. Если задача (1) — (2) допускает разделение переменных в обычном смысле, то метод прибл. разделения переменных вырождается в классический метод Фурье.

По методу коллокаций прибл. решение задачи (1) — (2) ищем в виде (6), где некоторые параметры, а ф-ции удовлетворяют краевым условиям (2). Требуя, чтобы выражение (6) удовлетворяло ур-нию (1) в заданных точках области (точках колло-кации), получаем однородную систему линейных алгебр, ур-ний относительно параметров п. Приравняв определитель этой системы нулю, получаем ур-ние для нахождения приближенных с. з. Метод коллокаций отличается простотой, но результаты вычислений сильно зависят от выбора точек к.

В методе минимизации среднеквадратичной погрешности приближенное решение задачи (1) — (2) представляется в виде линейной комбинации (6) ф-ций удовлетворяющих краевым условиям (2). Из условия минимума функционала

получаем ур-ния для определения приближенных с. з. и постоянных

Метод суммарных представлений применяют в случае самосопряженных операторов с постоянными коэфф. для областей, составленных из прямоугольников, областей с разрезами и выемками и др. Этот метод является конечноразностным аналогом метода интегр. представлений в матем. физике. Решение разностной задачи в любой точке сеточной области при большом к-ве узлов представляется в виде т. н. формул суммарных представлений, содержащих сравнительно небольшое к-во параметров. Относительно последних составляют системы линейных алгебр, ур-ний, содержащих параметр X. Приравняв 0 определитель этой системы, получают характеристическое ур-ние для определения с. з. разностной задачи. С. ф. даются ф-лами суммарных представлений. Этот метод предложил сов. математик Г. Н. Положий (1914—68). Лит.: Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. «Прикладная математика и механика», 1960, т. 24, в. 5; Положий Г. Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. К., 1962 [библиогр. с. 157—159]; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1966; Бабаков И. М. Теория колебаний. М., 1968; Буледза А. В. Об одном методе исследования свободных колебаний прямоугольных пластин. «Прикладная механика», 1970, т. 6, в. 9; Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970 [библиогр. с. 502—510]; Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Пер. с нем. М., 1968 [библиогр. с. 501—503]. А. В. Буледза.

1
Оглавление
email@scask.ru