Главная > Энциклопедия кибернетики. Т.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ

— раздел прикладной математики и автоматического управления теории (кибернетики технической), изучающий условия, при которых непрерывная система (НС) обладает устойчивостью. Устойчивость (в широком смысле) — это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим из различных начальных состояний. Достаточно широкий и наиболее изученный класс НС, т. н. системы с сосредоточенными параметрами, можно описать в виде нормальной системы обыкновенных дифф. уравнений

где переменные, описывающие состояние , t — время, или в векторно-матричной форме

где n-мерные векторы-столбцы. Пусть некоторое наперед заданное частное решение ур-ния (2) (невозмущенное движение), устойчивость которого требуется исследовать. Разность есть отклонение решения от Переменные удовлетворяют ураинениям возмущенного движения

где или в векторно-матричной форме

где векторы-столбцы, причем Предположим, что ф-ции удовлетворяют условиям существования и единственности решения системы (3).

Определение 1. Невозмущенное движение системы устойчивым по Ляпунову при короче, устойчивым), если для любых существует такое, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию справедливо неравенство при всех . В противном случае оно называется неустойчивым. Под нормой вектора х здесь и далее понимаем евклидову норму

Определение 2. Невозмущенное движение асимптотически устойчивым при если оно устойчиво по Ляпунову и для любого существует такое, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию существует предел Сфера при фиксированном является областью притяжения невозмущенного движения. Если областью притяжения является все пространство то невозмущенное движение наз. асимптотически устойчивым в целом. Кроме этих осн. определений устойчивости существует много других (устойчивость по Лагранжу, орбитальная устойчивость, -устойчивость, устойчивость инвариантного множества и др.). Понятие устойчивости относится к движению, а не к системе, но для краткости говорят об устойчивых и неустойчивых системах, подразумевая под устойчивостью НС устойчивость их невозмущенного движения.

Важный класс НС составляют линейные НС (ЛНС), для которых уравнение (4) имеет вид

где - -матрица, элементы которой в общем случае являются функциями времени. Для случая, когда постоянная матрица, верна следующая теорема.

Теорема 1. ЛHC (5) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические числа (собственные значения) матрицы А обладают неположительными вещественными частями

причем характеристические числа с нулевой вещественной частью допускают лишь простые элементарные делители. Если то линейная система асимптотически устойчива.

Характеристические числа матрицы А являются корнями ее характеристического (векового) уравнения

где I — единичная матрица.

Поскольку уравнения высоких степеней не имеют общих выражений для корней, то важное значение приобретают правила, по которым можно судить о знаках действительных частей корней уравнения (7), не решая его. Эти правила являются устойчивости критериями для системы (5) с постоянной матрицей. Критериями такого типа являются, напр., критерии Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста.

Среди с переменными параметрами более всего изучены системы с периодической матрицей

К этому классу относятся, напр., системы управления на переменном токе.

Теорема 2 (Флоке). Для ЛHC (5) с сопериодической матрицей, нормированная при фундаментальная матрица решений (матрицам) имеет вид

где кусочно-гладкая сопериодическая неособенная матрица, причем — постоянная матрица.

Матрицу матрицей монодромии. Собственные значения матрицы монодромии, т. е. корни характеристического уравнения

называются мультипликаторами.

Теорема 3. ЛHC (5) с -периодической непрерывной матрицей устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы монодромии (мультипликаторы) -расположены внутри замкнутого единичного круга причем мультипликаторы, лежащие на окружности допускают лишь простые элементарные делители.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все мультипликаторы находились строго внутри единичного круга

Поскольку в общем случае не существует метода определения мультипликаторов, изложим один из приближенных способов их вычисления. С помощью точек разобъем интервал на равных частей, и пусть

В дифф. уравнении

заменим сопериодическую матрицу кусочно-постоянной матрицей

где . Обозначим символом непрерывную матрицу, удовлетворяющую в точках непрерывности матрицы (11) дифф. уравнению

Тогда

и

Так как корни характеристического уравнения

являются непрерывными функциями параметра h, то в силу соотношения (14) имеем

Таким образом, выбрав h достаточно малым, из уравнения (15) можно определить мультипликаторы с любой степенью точности.

Нелинейные НС (ННС) вида (4) исследованы значительно меньше, чем ЛHC. Для исследования устойчивости системы (4) рус. математик А. М. Ляпунов (1857— 1918) выяснил условия, при которых задача об устойчивости решается по первому приближению. Для этого правые части уравнений (3) раскладывают в ряд по степеням и уравнение (4) записывают в виде

где непрерывная вектор-функция от высших степеней х.

Пусть для случая — постоянная матрица) выполняется условие

равномерно по

Теорема 3. Если система первого приближения асимптотически устоичива, то тривиальное решение системы (17) асимптотически устойчиво по Ляпунову при . Если же хотя бы одно собственное значение матрицы А обладает положительной вещественной частью, то оно неустойчиво по Ляпунову при . Аналогичные теоремы доказаны и для общего случая

В критических случаях (когда вещественная часть хотя бы одного собственного значения матрицы А равна нулю) уравнения первого приближения не всегда дают ответ на вопрос об устойчивости полной системы. Одним из существенных результатов в области исследования критических случаев является теорема Андронова—Витта. Пусть автономная система

допускает сопериодические решения . Тогда система первого приближения имеет вид

где .

Теорема 4 (Андронова — Витта). Пусть система первого приближения (20) имеет один простой мультипликатор, равный 1, а остальные ее мультипликаторы находятся строго внутри единичного круга . Тогда -периодическое решение системы (19) устойчиво по Ляпунову при

Метод исследования устойчивости ННС по первому приближению гарантирует лишь асимптотическую устойчивость в малом (т. е. для достаточно малых начальных отклонений) и не охватывает полностью критических случаев, а также не применим к системам, для которых не выполнено условие (18).

Осн. универсальным методом решения задач теории устойчивости ННС, позволяющим получать условия асимптотической устойчивости в некоторой области и даже в целом, является прямой метод Ляпунова, который сводится к построению спец. вспомогательных функций (см. Ляпунова методы). Основу этого метода составляют теоремы, которые наиболее просто формулируются для автономных систем.

Теорема 5 (1-я теорема Ляпунова). Если для дифф. уравнений (4) существует такая функция обращающаяся в нуль лишь в начале координат, что ее полная производная по времени полученная в силу уравнений (4), неположительна или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение системы (2) устойчиво.

Теорема 6 (2-я теорема Ляпунова). Если выполнены условия теоремы 5 и функции обращаются в нуль только в начале координат, то невозмущенное движение системы (2) устойчиво асимптотически.

Теор теорема Ляпунова). Если для дифф. уравнений (4) существует такая функция что ее полная производная по времени составленная в силу уравнений (4), удовлетворяет условиям теоремы 6-й и в сколь угодно малой окрестности начала координат функция может принимать отрицательные значения, то невозмущенное движение системы (2) неустойчиво.

Практическое применение этих теорем затруднено тем, что общего метода построения функций Ляпунова) не существует.

Наиболее исследованным является класс ННС, описываемый векторно-матричным уравнением вида

где А — постоянная (-матрица, b и с — -мерные постоянные векторы (знак означает эрмитово сопряжение), нелинейная ф-ция .

Осн. результаты для абсолютной устойчивости таких систем получены с помощью т. н. частотных методов.

Определение 3. Абсолютная устойчивость системы (21) — это асимптотическая устойчивость в целом для некоторого класса нелинейностей

Классы функций задаются квадратичными неравенствами вида

где — некоторые числа. Напр., наиболее распространенный (и наиболее изученный) класс задается так:

или

При исследовании абсолютной устойчивости применяют два подхода: прямой метод Ляпунова в сочетании с методом матричных неравенств Якубовича—Калмана и метод интегр. оценок Попова. При первом подходе используется ф-ция Ляпунова вида

где постоянная (-матрица и некоторая постоянная, которые выбираются из условия для заданного класса нелинейностей ). При решении задачи выбора матрицы и параметра Ф применяется спец. прием (-процедура), состоящий в том, что условие заменяется условием что в данном случае -процедура не приводит к «ухудшению» результата). Проблема выбора сводится к нахождению условий существования решения

некоторых матричных неравенств. Эти условия следуют из спец. алгебр, леммы Якубовича — Калмана и имеют вид частотных неравенств, которые накладывают ограничения на параметры системы.

При втором подходе уравнение системы записывается в интегр. форме

где реакция линейной части системы на ненулевые начальные условия, и составляющая решения обусловленная наличием обратной связи (нелинейного регулятора), к импульсная переходная характеристика линейной части системы. Предполагается, что она удовлетворяет условиям

При выражения (21) и (24) совпадают. Однако уравнение (24) является более общим, т. к. оно охватывает случай линейной части системы с распределенными параметрами. Метод интегр. оценок Попова (назван по имени рум. матем. В. М. Попова, который впервые применил его для решения задачи об абсолютной устойчивости) основан на совместном изучении уравнения (24) и положительных функционалов следующего вида:

где квадратичная форма, при составлении которой исходят из квадратичных связей, которым удовлетворяют входы и выходы нелинейностей. Так, для класса нелинейностей, заданного условием (23), рассматривается форма где — некоторая положительная постоянная.

Аргументами формы являются вещественные величины . Считая независимыми переменными, распространим (с сохранением эрмитовости) форму на комплексные значения . Положим

где . Здесь комплексная величина, — чисто мнимый параметр и передаточная функция линейной части системы обозначает операцию преобразования по Лапласу).

Теорема 8. Предположим, что выполнемо условие (25). Тогда, если а) где некоторая постоянная, зависящая от начальных условий и такая, что при форма является неотрицательной формой ; в) форма для всех то система (24) абсолютно устойчива. Условие (в) накладывает ограничения на частотную характеристику линейной части системы в виде частотного неравенства, при выполнении которого гарантируется абсолютная устойчивость системы для заданного класса нелинейностей.

Характерно, что для одних и тех же классов нелинейностей оба подхода в большинстве случаев дают одни и те же условия абсолютной устойчивости. Хотя второй подход охватывает более широкий класс систем, вида (24), первый подход не утратил своего значения. Его аппарат позднее был применен к исследованию асимптотической устойчивости в области (определение области притяжения), к получению условий диссипативности и изучению других свойств системы (21).

Центральным результатом, полученным при использовании частотных методов, является следующая теорема.

Теорема 9 (частотный критерий Попова). Система (21) или (24) абсолютно устойчива, если а) однозначная непрерывная функция, принадлежащая классу нелинейностей, выделяемому условием (23); б) линейная часть системы асимптотически устойчива; в) при всех 0 со выполнено неравенство

где передаточная функция линейной части системы для системы произвольная постоянная, выбираемая из условия выполнения (28).

Эти подходы были обобщены на случай систем со многими нелинейностями

где А, В, С — постоянные соответственно матрицы, -мерный вектор нелинейностей.

Теорема 10. Система (23) абсолютно устойчива, если а) однозначные непрерывные ф-ции, удовлетворяющие условиям

б) линейная часть системы асимптотически устойчива; в) при всех выполнено неравенство

где диагональная матрица, — диагональные матрицы, выбираемые из условия выполнения неравенства передаточная матрица линейной части системы, под подразумевается U Как и в предыдущей теореме, утверждения теоремы 7 справедливы и для случая линейной части системы с распределенными параметрами. В дальнейшем были получены условия абсолютной устойчивости для систем (в т. ч.- в некоторых критических случаях) с нестационарными, неоднозначными (гистерезисными) и разрывными нелинейностями, а также для систем, обладающих множеством равновесных состояний. Получены критерии устойчивости, учитывающие более тонкие свойства нелинейностей, как, напр., ограниченность производной, монотонность, нечетность и т. д. Для этого были рассмотрены функции Ляпунова вида

где или функционалы

где квадратичная форма .

Достаточно общий формализованный метод получения частотных критериев абсолютной устойчивости предложил сов. математик В. А. Якубович.

Лит.: Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, в. 1. М., 1965; Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966; Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. «Автоматика и телемеханика», 1967, т. 28, № 6; Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967 [библиогр. с. 466—469]; Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 324—465]; Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. Пер. с рум. М., 1970 [библиогр. с. 435.-453]. М. М. Лычак, О. С. Яковлев.

1
Оглавление
email@scask.ru