УРАВНОВЕШИВАНИЯ МЕТОДЫ

— методы сведения к нулю или определенному значению рассогласования в математических машинах непрерывного действия для достижения эквивалентности между уравнениями моделируемого объекта и моделирующей системы. Под ур-ниями моделируемого объекта подразумеваются зависимости, отображающие отдельные матем. операции, включая функциональные зависимости, системы линейных и нелинейных алгебр, и дифф. ур-ний, ур-ния в частных производных. У. м. применяют также для повышения точности решения задач на моделирующих машинах, устраняя погрешности, возникающие из-за неточности установки параметров или изменения их в процессе решения. Уравновешивание контролируется достижением нулевых значений некоторых физ. величин. В электронных цепях в качестве таких величин удобнее всего брать разность потенциалов между узлами схемы. Процесс уравновешивания может протекать одновременно в различных участках моделирующей системы. Для этого применяют следящие системы, либо усилители операционные, отрабатывающие потенциально-нулевые точки. Последовательное (поочередное) уравновешивание осуществляется либо вручную, либо с применением кодоуправляемых элементов или переключающих схем. На однозначность решения при одновременном уравновешивании влияет устойчивость решения с учетом влияния малых параметров; при последовательном уравновешивании необходимо обеспечить сходимость итерационного процесса. У. м. наглядно иллюстрируются при моделировании системы линейных алгебр, ур-ний. Систему линейных алгебр, ур-ний представим в виде

где известные коэфф., неизвестные, известные свободные члены. Ур-ния (1) запишем в матричной форме

где А — матрица коэфф., X — вектор неизвестных, F — вектор свободных членов. Предполагается, что матрица коэфф. квадратичная и достаточно хорошо обусловлена. В случае, когда аналоговую модель построить невозможно или нецелесообразно, применяется квазианалоговое моделирование с уравновешиванием. При этом ур-ния (2) заменяются ур-ниями с невязками:

где — вектор невязок; при система (3) превращается в систему (2). В более общем случае У. м. предусматривают введение вектора дополнительных величин Y и уравновешиваемых величин Ф. Введение этих величин иногда упрощает построение квазианалоговой модели и ускоряет процесс уравновешивания. Общая блок-схема уравновешивания приведена на рис. 1, где КА — квазианалоговая модель, УУ — устройство уравновешивания. Одновременное сведение всех невязок к нулю можно рассмотреть на примере матричной модели с операционными усилителями (рис. 2). В этой модели проводимости g моделируют коэфф. системы свободные члены напряжения искомые неизвестные операционные усилители отрабатывают потенциально-нулевые точки Ур-ние электр. цепи будет иметь вид

где G — матрица проводимостей, U — вектор напряжений, I — вектор токов, N — диагональная матрица, элементы которой представляют сумму проводимостей, подключаемых к потенциально-нулевой точке, D — вектор напряжений потенциально-нулевых точек. Ур-ния (4) эквивалентны (3). Учитывая, что , где К — коэфф. усиления усилителей, перепишем (4) в виде

а при достаточно большом , что эквивалентно системе ур-ний (2).

При анализе процесса одновременного уравновешивания необходимо учитывать влияние паразитных емкостей С, появляющихся в цепи обратной связв усилителей (на рис. 2 обозначены пунктиром). С учетом этих емкостей и токов, протекающих через них, ур-ния (5) примут вид

где Е — единичная матрица. Исследуя систему (6) на устойчивость любым из известных методов (см. Устойчивость модели), получают характеристику процесса уравновешивания.

Решение может быть получено только в том случае, если система (6) устойчива. Одним из условий устойчивости является требование отрицательности действительной части корней характеристических ур-ний системы

В частности, если G — симметричная и положительно определенная матрица, то условие устойчивости выполняется. Достаточным признаком устойчивости будет и выполнение неравенства

1. Общая блок-схема уравновешиваемой квазианалоговой модели.

2. Схема матричной уравновешиваемой модели системы линейных алгебраических уравнений.

При последовательном уравновешивании систему (2) формируют таким образом, чтобы коэфф., стоящие на главной диагонали матрицы (т. е. коэфф. типа были максимальными в каждом ур-нии. Процесс последовательного уравновешивания заключается в том, что. изменяя поочередно добиваются нулевых значений Этот процесс эквивалентен методу полной релаксации, а при циклическом обходе уравновешиваемых величин — методу Некрасова. В процессе уравновешивания можно не доводить значение до нуля, а только уменьшать его. При этом будет реализован метод неполной релаксации. Необходимым и достаточным условием сходимости итерационного метода для системы линейных алгебр, ур-ний является условие, чтобы все корни характеристического ур-ния матрицы в В были по модулю меньше единицы, где . Достаточным условием сходимости для симметричных матриц является положительная определенность матрицы А. Практически при определении сходимости итерационного процесса удобно пользоваться условием, что любая норма матрицы В была меньше единицы, или условием

Кроме рассмотренных методов, применяют метод минимизации. Суть метода заключается в том, что выделяется величина или и на каждом шаге последовательного приближения эта величина уменьшается. Из методов, обладающих неизбежной сходимостью, находит применение также метод скорейшего спуска. Рассмотренные У. м. могут быть обобщены на системы нелинейных алгебр, ур-ний, на обыкновенные дифф. ур-ния и системы ур-ний и дифф. ур-ния в частных производных. У. м. применяют при решении некоторых задач программирования линейного, ими пользуются при создании специализированных матем. машин непрерывного действия.

Лит.: Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.- Л., 1963 [библиогр. с. 677—734]; Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. К., 1967 [библиогр. с. 560—564]. В. М. Самусь.