ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЙ ТЕОРИЯ

— раздел вычислительной математики, изучающий причины возникновения и способы оценки погрешностей решения задач прикладной математики.

Причины возникновения всевозможных погрешностей нетрудно проследить, исходя из следующей характерной «технологической цепочки» прикладной математики. Для исследования любого реального процесса составляется его модель математическая (м. м.), которая лишь приближенно отражает исследуемый процесс. Причиной возникновения погрешности м. м. является идеализация (упрощение) действительных свойств процесса, неполная адекватность математ. абстракций отображаемым свойствам реальности, невозможность точного вычисления, измерения или наблюдения параметров выбранной м. м. Чтобы проверить меру адекватности м. м. и процесса, наблюдаются конкретные реализации процесса и результаты наблюдений сравниваются с соответствующими реализациями м. м. Последние реализации получаются, если применить численные методы (ч. м.), которые обычно аппроксимируют исходную м. м. и делают ее пригодной для расчета. П. этой аппроксимации (п. числ. методов), а также п. реализаций числ. методов и п. наблюдения или измерения реализаций исследуемого процесса должны быть учтены при определении погрешности м. м. или меры адекватности м. м. и процесса. На этом заканчивается этап анализа процесса. Качество анализа определяется тем, насколько вывод о степени адекватности м. м. и процесса, сделанный на основании сравнения отдельных реализаций м. м. и процесса, переносится на их всевозможные реализации. На этапе синтеза процесса с заданной целью, кроме м. м. процесса, вводится м. м. этой цели и м. м. ограничений, при которых синтез возможен и целесообразен. Синтез процесса также требует применения числ. методов, которые обычно аппроксимируют указанные м. м. и приводят задачи синтеза к тем или иным задачам программирования математического. Оценка погрешности м. м. может быть получена путем сравнения данной м. м. с заведомо более точной. П. исходной м. м. должна учитываться при формулировке требований к точности решения различных задач, основывающихся на этой модели.

Общая схема оценки полной абсолютной п. решения задач на ВМ в рамках заданной м. м. и осн. понятия П. в. т. могут быть описаны следующим образом. Пусть известны мн-ва соответственно возможных исходных данных и результатов решения задач Р класса а. Каждому элементу соответствует элемент который является результатом решения задачи с исходными данными I. Этот факт можно записать как и считать, что всякая задача Р (I) сводится к определению результата некоторой операции О (I). При числ. решении задачи Р (I) вместо I и R обычно оперируют некоторыми конечномерными числовыми векторами где A — вычислительный алгоритм а.) решения данной задачи, X — вектор формальных параметров в. а. А. При этом является некоторым приближением к вектору связанному с является приближением к вектору связанному с R. Предположим, что В стохастических задачах последняя оценка известна лишь с определенной вероятностью. Будем считать, что векторам вида поставлены в соответствие элементы вида . Операторы естественно назвать интерпретаторами соответственно Положим Как показывает исследование некорректно поставленных задач, не обязательно стремится к R, когда Введем где h — конечномерный числовой вектор, операция определена на I (а). Если существуют такие зависимости что когда , то операция регуляризует операцию О. Свойства проявляющиеся при изменении , позволяют выявить свойства I и R и уточнить операцию О. На практике нередко необходимые свойства I и R известны наперед из физ. соображений (совокупность числовых характеристик этих свойств тогда является частью вектора ). Допустим, что на определена некоторая метрика . Величина наследственной (неустранимой) п. решения задачи или п. за счет неточности исходных данных. Величина погрешностью ч. м. или п. вычисл. алгоритма тех. литературе соответственно переходной (трансформированной) и принципиальной (методической) п. Если при стремлении к предельным значениям то в. а. сходящимся. В практике вычислений обычно нужна величина и обычная схема ее оценки

. Т. о., важно, чтобы в. а. А (X) обеспечивали сходимость . При реализации в. а. на вычисл. машине где У — вектор параметров, характеризующих ВМ, матем. операции заменяются псевдооперациями или машинными операциями, вектор исходных данных аппроксимируется допустимым для записи в ВМ вектором. В итоге в. а. А (X) превращается в в. а. или программу на , а вектор в вектор Величина п. реализации в. а. А (X) на ВМ Y. В технической литературе эта величина наз. инструментальной (приборной) п. В случае цифровой ВМ (ЦВМ) эта величина наз. также п. округления. В этом случае можно положить разрядов машинного представления чисел. Сходящаяся последовательность в. устойчивой, если при равномерно по к. Полная абсолютная п. решения задачи на ВМ (У) при помощи в. а. А (X) равна

Детальной оценке разных видов погрешностей посвящено большое к-во работ (см. Приближенных методов общая теория, Некорректно поставленных задач способы решения и Округления погрешность). Поэтому рассмотрим лишь общую характеристику оценок п. и способов их получения.

Наиболее просто получаются мажорантные оценки вида или , где А — одна из мер п. Если для некоторого или , то мажорантные оценки наз. неулучшаемыми. Мажорантная даже неулучшаемая оценка п. может быть сильно завышенной в том смысле, что задачи, для которых A d, могут иметь экзотический характер и практически никогда не встречаться. Поэтому имеет смысл находить также статистические оценки п.: оценки математического ожидания дисперсии и др. вероятностных характеристик А, полагая I случайной величиной. Важное значение имеет получение т. н. асимптотических оценок п., которые находятся сравнительно просто за счет учета малых величин главных порядков и которые вблизи предельных значений варьируемых параметров оказываются близкими к реальным п. Если оценка п. достаточно просто выражается через исходные данные то она наз. априорной. Если оценка использует приближенное решение задачи или некоторые др. величины, достаточно сложно вычислимые по исх. данным, она наз. апостериорной. Апостериорные оценки обычно получаются более точными, чем априорные. Однако выигрыш в точности получается, как правило, в результате дополнительных, иногда весьма громоздких, вычислений.

Т. о., анализ погрешности целесообразно вести по следующей схеме:

Методы получения различных оценок п. целесообразно разбить на след, четыре группы: аналитические, алгоритмические, или программные, статистического моделирования и комбинированные методы. При аналитическом способе путем проведения аналитических оценок с применением определенных априорных сведений о свойствах решений задачи находятся априорные оценки п. Качество оценок здесь определяется искусством исследователя и к-вом априорных сведений. Вместе с тем задачи получения требуемых оценок п. правомерно решать при помощи соответствующей библиотеки стандартных программ на ВМ. Разработка и применение таких программ составляют суть алгоритмического, или программного, метода. В сложных случаях для получения статистических оценок п. целесообразно пользоваться методом статистического моделирования и для набора статистики применять числовой эксперимент. Наиболее эффективным оказывается комбинированный метод, когда весь алгоритм решения задачи расчленяется на части, для каждой из которых может быть с успехом применен один из названных четырех методов.

Лит.: Иванов В. В. Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов, в кн.: Обзор достижений в области кибернетики и вычислительной техники, в. 2. К., 1969; Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М.. 1969 [библиогр. с. 422—431].

В. В. Иванов.