ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП ТЕОРИЯ

— раздел групп теории, в котором изучаются гомоморфные отображения абстрактной группы на группу операторов линейных. Пусть G — конечная группа с элементами

Т — группа линейных операторов Т в некотором пространстве R, гомоморфная группе G. Тогда группа Т образует представление группы G. Если пространство R есть -мерное векторное пространство, то любой его элемент х может быть разложен по ортам образующим базис этого пространства: хпеп. Определим оператор полагая

Таким образом, каждому элементу группы G ставят в соответствие матрицу совокупность матриц когда элемент пробегает всю группу G, также образует представление, называемое матричным представлением порядка группы G. При переходе к новому базису матрицы представления испытывают преобразование подобия; представление группы G матрицами эквивалентным по отношению к представлению матрицами . В теории линейных представлений групп (т. л. п. г.) обычно рассматривают унитарные представления как один из представителей класса эквивалентных представлений. Если группа матриц изоморфна группе G, то говорят, что эти матрицы дают точное представление группы G. Напр., циклическая группа третьего порядка состоит из трех элементов: единичный элемент; эта группа изоморфна группе поворотов равностороннего треугольника на углы 120°, 240°, 0° или 360° вокруг оси, проходящей через центр треугольника перпендикулярно его плоскости или группе трех матриц:

Возможно также, что в пространстве в котором определена группа Т, существует подпространство инвариантное относительно всех операторов группы Т, т. е. для каждого вектор такое представление наз. приводимым. Выбрав в качестве первых к ортов в пространстве орты подпространства все матрицы операторов группы Т в этом случае можно представить в блочно-треугольной форме

Если в пространстве существует нетривиального инвариантного подпространства, то представление наз. неприводимым. Если пространство можно разложить на инвариантные подпространства, в каждом из которых реализуется неприводимое представление, то говорят о полной приводимости или распаде представления Т; при соответствующем выборе базиса матрицы этого представления имеют квазидиагональный вид

Базис пространства в котором имеет место распад приводимого представления, наз. каноническим.

Аппарат т. л. п. г. широко используется в физике и химии при изучении симметричных

многоатомных молекул, кристаллов и различных симметричных квантовомеханических систем, в частности, в теории элементарных частиц. При этом под симметрией системы подразумевается инвариантность ее матем. или физ. модели относительно определенной группы линейных преобразований. Методы т. л. п. г. применяют также и в автоматического управления теории. В системах автомат, управления симметрия встречается в структуре системы и в периодичности ее функционирования. Симметрия обнаруживается также в элементах коррекции автомат, устр-в (цепочки, мосты, скрещенные схемы и др.), в подвижных объектах управления, состоящих из большого числа однотипных упругих элементов, в распределенных системах управления типа управляющих сред с волокнистой структурой, в системах управления производством и при анализе др. типов сложных систем управления с пространственно-временной симметрией. О представлениях непрерывных групп см. Группы непрерывные.

Лит.: Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М., 1958 [библиогр. с. 345— 349]; Ленг С. Алгебра. Пер. с англ. М., 1968.

В. В. Удилов.