МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТИ ПРОБЛЕМА

— выбор решения при наличии множества функций цели , где некоторая альтернатива, под которой понимают либо непрерывную векторную переменную, принадлежащую выпуклой замкнутой области, обычно определяемой системой линейных или нелинейных неравенств, либо дискретную переменную, принимающую конечное мн-во заданных значений. Возникает при исследовании сложных систем управления и в игровых ситуациях.

Поскольку оптимум по каждому критерию не всегда можно достигнуть при одном и том же значении , то определяют, в каком смысле понимать решение. Обычно такое решение понимают как мн-во эффективных альтернатив. Альтернатива эффективной, если нет других альтернатив, лучших хотя бы по одному критерию и не худших по остальным. Критерии мн-ва имеют различный физ. смысл, одни них максимизируются, а другие минимизируются. Прежде чем перейти к формулировке задачи, на основании которой можно найти мн-во эффективных альтернатив, заметим, что если эффективная альтернатива мн-ва критериев , то эффективная альтернатива мн-ва ф-ций , где монотонная ф-ция и обратно.

Для нахождения эффективных точек выберем такие монотонные ф-ции чтобы они были безразмерными и все минимизировались. С этой целью введем следующие монотонные преобразования: для критериев, которые максимизируются

и для критериев, которые минимизируются

где - оптимальное значение критерия, наименьшее значение максимизируемого критерия, — наибольшее значение минимизируемого критерия. Значения находятся при либо , где U — выпуклая замкнутая область, V — дискретное мн-во

Решение параметрической задачи

для всех при достаточно общих условиях дает мн-во эффективных альтернатив. В этом случае остается проблема выбора единственного решения из мн-ва несравнимых эффективных альтернатив, т. е. задача выбора компромиссного решения. Известны различные подходы к определению компромисса.

Геометрическая интерпретация выбора компромиссного решения на примере двух равноценных критериев.

При одном из подходов под компромиссным решением понимают такое, которое дает миним. относительное отклонение от оптим. значений по всем критериям в соответствии с заданным предпочтением, определяемым весовыми коэффициентами такими, что Если критерии равноценны, то , и компромиссным решением будет такое, для которого относительные потери, выраженные соотношениями (1) и (2), одинаковы. Если же критерии не равноценны, то компромиссным решением будет такое, для которого одинаковы «взвешенные» потери

Как видно из (1) и удовлетворяют ограничениям в случае равноценных критериев, либо

для неравноценных. Следовательно, под компромиссным решением будем понимать такую эффективную альтернативу , для которой выполняются следующие равенства:

Если на основании экспертных оценок методов определено то компромиссной альтернативой будет та, при которой выполняются равенства (6) и минимизируется критерий (3). В силу линейности критерия (3) минимум достигается на нижней границе для т. е. при минимально возможном Искомое в этом случае может быть найдено на основании метода дихотомии.

Поясним изложенный выше подход геометрически на примере двух равноценных критериев и для На рисунке G — область значений критериев на мн-ве ограничений U, Г — граница этого мн-ва, Q — область значений критериев в которой эти критерии принимают значение не больше чем Компромиссное решение будет в точке Г пересечения биссектрисы координатного угла (критерии Д и равноценны) с границей области G. Для неравноценных критериев в качестве координатных ф-ций выберем где определяются соответственно выражениями (4) и (5). Тогда критерии равноценны, и для нахождения компромиссного решения можно пользоваться указанной процедурой.

Основными проблемами в задаче многокритериальной оптимизации являются выбор процедуры определения предпочтения на мн-ве критериев и способ введения обобщенного критерия, оптимизация которого дает решение согласно выбранной схеме компромисса и определенному предпочтению.

Лит.: Волкович В. Л. Многокритериальные задачи и методы их решения. «Кибернетика и вычислительная техника», 1969, в. 1; Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М., 1971 [библиогр. с. 382—383]; Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. Пер. с англ. М., 1961 [библиогр. с. 608—625]; Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. Пер. с англ. М.. 1964 [библиогр. с. 798—819].

В. Л. Волкович.