НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИЗ

— раздел автоматического управления теории, изучающий характер возможных процессов в нелинейных системах автоматического управления, а также их различные качественные и количественные характеристики. Задачами анализа являются определение условий существования и устойчивости установившихся режимов (состояний равновесия, периодических и почти периодических движений), оценка величины областей притяжения этих режимов в фазовом пространстве, определение качества переходных процессов, характера вынужденных движений при различных внешних воздействиях и т. п.

Особенности поведения нелинейной системы при различных начальных состояниях определяют разбиение фазового пространства на области, внутри которых фазовые траектории

системы имеют одинаковые топологические свойства. Установление структуры этого разбиения является первой основной проблемой Н. с. а. у. а. Для стационарных автономных систем структура фазового пространства в основном определяется типами особых точек, наличием замкнутых траекторий — предельных циклов, сепаратрисными поверхностями, ограничивающими области притяжения устойчивых особых точек и замкнутых траекторий, и т. п. Вторая осн. проблема анализа состоит в исследовании класса нелинейных систем, различающихся лишь численными значениями некоторых параметров, и связана с определением бифуркационных поверхностей. Эти поверхности разбивают пространство параметров на области, для которых фазовое пространство имеет топологически одинаковую структуру.

Методы анализа нелинейных систем можно разделить на аналитические и неаналитические (численные, графические, машинные). В свою очередь, аналитические методы можно разделить на точные и приближенные. В применении к сложным системам ни один метод в отдельности не позволяет исчерпать названные проблемы анализа. Наиболее полные результаты можно получить, используя разные методы исследований.

Ляпунова методы являются строгими методами исследования устойчивости и составляют фундамент теории устойчивости. Теоремы Ляпунова об устойчивости по 1-му приближению сводят вопрос об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях к анализу линейной модели системы. Прямой (2-й) метод Ляпунова позволяет находить достаточные условия устойчивости нелинейных систем при больших возмущениях. Этим методом наиболее полно исследованы системы вида

Уравнение (1) можно также записать в виде у. (2)

Здесь фазовые координаты системы, t — независимая переменная (время), - постоянные коэффициенты, нелинейная функция,

— алгебраическое дополнение элемента строки i столбца к определителя D (р); в точках разрыва и ее производных уравнения (2), (3) доопределяются условиями скачков а и ее производных. При анализе системы (1) ее можно заменить системой (2), (3), если многочлены не имеют общих нулей.

Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса) дает возможность приближенно определять условия существования и устойчивости периодических режимов нелинейных систем, их амплитуды и частоты и основан на следующем допущении. Предположим, что при прохождении сигнала у через линейную часть (2) происходит отфильтровыввние высокочастотных составляющих, ввиду чего сигнал о близок по форме к синусоидальному, т. е. аппроксимируется зависимостью

Разлагая в ряд Фурье результат подстановки выражения (6) в уравнение (3) и отбрасывая высшие гармоники, получим

где

Искомое решение (6) определяется вещественными значениям и , удовлетворяющими линейной системе (2), (7) при замене в ней на . Метод получил дальнейшее развитие для анализа устойчивости равновесия и качества переходных процессов.

Частотный метод Попова позволяет определять достаточные условия устойчивости системы (2), (3) на основе следующего критерия. Пусть однозначная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенствам

где — вещественная постоянная. Тогда для того, чтобы состояние равновесия системы (2), (3) было асимптотически устойчивым по Ляпунову и областью притяжения для него служило все фазовое пространство, достаточно, чтобы существовало

вещественное число q, при котором для всех соблюдается неравенство

Метод сечений пространства параметров, являясь аналитическим и точным, позволяет исследовать фазовые пространства и пространства параметров нелинейных систем, рассматриваемых в условиях специально выбираемых сечений пространства параметров. С помощью преобразования

система (1) приводится к виду

где — корни уравнения из них s вещественных;

Преобразование (11) неособое, если корни простые и , где В — столбец чисел матрица . Пусть заданные числа, параметры. В пространстве параметров определим сечений — плоскостей размерности 2, каждая из которых описывается уравнениями

Здесь произвольные постоянные (комплексно сопряженные при комплексных сопряженных), — символ Кронекера. В сечении , поэтому система (12) имеет независимую подсистему с переменным ; для типовых такие подсистемы изучены. При известной зависимости определяются из выражений

По уравнениям (11) результат переносится на систему (1). Метод позволяет находить сепаратрисные поверхности в фазовом пространстве, пересечения бифуркационных поверхностей с плоскостями сечений в пространстве параметров и т. п.

Метод припасовывания позволяет анализировать кусочно-линейные (и другие кусочно-интегрируемые) системы путем определения изменения координат системы во времени. Пусть при , где вещественные постоянные. Тогда на каждом интервале система (2), (3) линейна и, следовательно, ее можно проинтегрировать. Конечные значения переменных на интервале i связаны с начальными значениями ом на интервале условиями

Здесь

т. е. при коэффициенты многочленов .

Дополнительный анализ позволяет выявить наличие периодических решений, определить их устойчивость. Для Н. с. а, у. а. применяют также метод малого параметра, фазового пространства методы, метод точечных отображений и др.

Лит. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории

нелинейных колебаний, М, 1958 [библиогр, с. 407— 4083; Горская Н. С., Крутова И. Н., Рутковский В.Ю. Динамика нелинейных сервомеханизмов. М., 1959 [библиогр. с. 313—315]; Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М., 1960 [библиогр. с. 775—789]; Беля К. К. Нелинейные колебания в системах автоматического регулирования и управления. М., 1962 [библиогр. с. 257—260]; Нелепин Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л., 1967 [библиогр. с. 438—447]; Наумов Б. Н. Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы. М., 1972 [библиогр. с. 472—544]; Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ. М.- Л., 1962 [библиогр. с. 452—456]; Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Пер. с англ. М., 1968 [библиогр. с. 421—4273. Р. А. Нелепин.