ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ СПОСОБЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

— способы обработки данных, применяемые на одном из наиболее важных этапов исследования в различных областях естествознания и техники. Для обработки данных обычно применяются методы вероятностей теории и математической статистики. В основе этих методов лежит больших чисел закон, согласно которому при большом к-ве независимых опытов вероятность событий приближенно заменяют соответствующими частотами, а математическое ожидание (м. о.) случайных величин — их средними арифм. значениями. Однако на практике часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим к-вом опытов. Отсюда возникает дополнительная задача оценки точности характеристик, получаемых из опыта.

Условимся обозначать через случайное значение случайной величины X, которое она принимает в результате опыта, а через конкретное значение случайной величины X, полученное в результате опыта. Для определения полных погрешностей оценок м. о. то, дисперсии d, ф-ций распределения, плотностей вероятности случайных величин, корреляционных моментов и коэфф. корреляции случайных величин X и Y (см. Статистические оценки, Эмпирическая функция распределения), помимо оценок погр. метода, следует дополнительно произвести анализ наследственных погр. и округления погрешностей. Выполним это на примере оценки Предположим, что вместо мы имеем дело с причем для дисперсии случайной величины справедливо соотношение Тогда вместо получим Предполагая попарно независимыми, в соответствии с неравенством Чебышева с вероятностью 0,96 справедлива следующая оценка наследственной погр. то в случае, когда попарно независимые и нормально распределенные случайные величины с нулевыми м. о. и дисперсией ,

где

- вероятность того, что . Для последнего интеграла составлены таблицы, которыми можно воспользоваться в практических расчетах. При условии для погр. округления вычисления на ЦВМ в режиме с плавающей запятой справедлива оценка

где разрядов у мантиссы числа. При большом эта погрешность может оказаться весьма значительной. Чтобы избежать этого, необходимо производить сложение на ЦВМ по возможности без округлений. Известно, что являются асимптотически по равномерно распределенными на случайными величинами. В случае, когда попарно независимы, с вероятностью 0,96 справедлива оценка Учитывая, что закон ления величины близок к нормальному, можно получить еще более точную оценку для погр. округления.

Совокупность случайных величин можно рассматривать как коорд. случайной точки в -мерном простр., или как составляющие -мерного случайного вектора. М. о. произвольной ф-ции случайных величин определяется ф-лой

где плотность вероятностей -мерного случайного вектора, которая определяется соотношением

где вероятность совместного выполнения двойных неравенств . Полагая получим момент случайного вектора порядка Если по очереди принять один из индексов равным 1, а остальные — 0, получим м. о. случайных величин составляющих случайного вектора X определяют -мерный вектор который естественно назвать м. о. случайного вектора X. Полагая по очереди один из индексов равным , а остальные — равными 0, получим дисперсии случайных величин Наконец, полагая, что два из индексов равны 1, а остальные , получим корреляционные моменты случайных величин

Совокупность составляющих случайного вектора образует симметричную корреляционную матрицу случайного вектора Во многих практически важных случаях и К полностью определяют числ. характеристики случайного вектора. Действительно, плотность вероятности многомерного нормального закона распределения имеет вид

Метод максимума правдоподобия для этого случая сводится к наименьших квадратов методу (см. Аппроксимация функций среднеквадратичная). Для вычисления элементов матрицы К и оценок их точности можно воспользоваться соответствующими соотношениями для случайных величин.

Случайной функцией наз. ф-ция, значение которой при каждом данном значении аргумента (или нескольких аргументов) является случайной величиной. М. о. случайной ф-ции ф-ция значение которой при каждом данном значении аргумента равно м. о. случайной ф-ции при этом Ф-ция представляет собой некоторую среднюю ф-цию, около которой группируются и относительно которой колеблются всевозможные реализации Дисперсия ф-ции такая ф-ция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значения ф-ции при этом значении аргумента. Как и в случае случайного вектора, для характеристики разброса ф-ции недостаточно знания дисперсии. Для учета связи между значениями случайной ф-ции при различных значениях аргумента необходимо задать, кроме дисперсии, корреляционную функцию являются менее полными характеристиками чем ее конечномерные законы распределения. Однако во многих практически важных случаях они полностью определяют закон распределения ф-ции как, напр., это имеет место для нормально распределенной случайной ф-ции.

Общей вычисл. ф-лой для оценки является

где реализаций , — оценка снизу такого макс. числа и, что на с заданной точностью не отличается от прямой

Смысл прибл. равенств существенно различен. В первом случае — это оценка для которая при любом может значительно отличаться от самой однако вероятность этого факта сколь угодно мала, когда достаточно велико. Во втором случае — это обычное прибл. равенство, причем

где — модуль непрерывности реализации . Если стационарная эргодическая случайная ф-ция, то и и вместо (1) можно записать

На основании неравенства Чебышева и известного выражения

где R — автокорреляционная функция случайной ф-ции , получается

Если для независимы, то, учитывая известное неравенство получим

Естественно предположить, что имеет нормальный закон распределения, плотность которого

Тогда

откуда

При автомат, определении оценки м. о. на ЦВМ с целью экономии памяти машины выгодно вычислять по рекуррентной ф-ле

Т. к. с ростом Р число может быстро выйти из разрядной сетки машины, то выгоднее применять

Если в ф-лах (1) и (2) положить , то получим оценку дисперсии D случайной ф-ции . Если где случайные ф-ции, то получим оценку взаимной корреляционной ф-ции (0); в частности, для получим автокорреляционную функцию

Весьма важной характеристикой стационарной случайной ф-ции является ее спектральная плотность являющаяся Фурье преобразованием от корреляционной ф-ции. Существует два способа построения оценок спектральной плотности. Первый из них состоит в определении оценок корреляционной ф-ции и в вычислении ее преобразования Фурье (см. Фурье интегралов способы вычисления). Второй способ основывается на построении оценки спектральной плотности согласно соотношению

где . Для первого и второго способов при вычислении преобразования Фурье целесообразно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для получения состоятельной оценки можно применить сглаживание и соответствующей оценки при помощи преобразования Стеклова

или более общего преобразования вида

В наст, время не снижается интерес к созданию специализированных вычисл. устройств как непрерывного, так и дискретного действия для целей корреляционного анализа. Их, как правило, используют для реализации сравнительно простых и однообразных вычислительных алгоритмов корреляционной обработки больших массивов исходных данных. Кроме того, существуют корреляторы, предназначенные для измерений характеристик стационарных случайных ф-ций. Они дают возможность вычислять оценки и по методу осреднения одной или многих реализаций и текущие оценки и в масштабе времени поступающего на вход сигнала при сколь угодно долгом его наблюдении.

Одной из характерных задач обработки экспериментальных данных является задача выявления скрытых периодичностей, т. е. задача распознавания спектральной структуры реальных процессов по результатам их измерений, которую можно сформулировать следующим образом. Предполагается, что на

где случайный остаток. Задача сводится к определению и статистических характеристик остатка. Для вычисления статистических характеристик используются приведенные выше алгоритмы.

Для обработки статистических данных методами теории вероятностей и матем. статистики созданы специализированные автоматизированные системы. Одна из них разработана в Институте кибернетики АН УССР на базе ЭВМ Она осуществляет автомат, построение рабочих программ для решения указанных потребителем задач. В системе имеются средства для автомат, пополнения ее матем. обеспечения (см. Математическое обеспечение ЦВМ). В ВЦ Московского на базе ЭВМ «Сетунь» создана автоматизированная система статистической обработки результатов измерения волновых колебаний уровня моря и ряда других океанологических параметров, ее можно применять и для обработки материалов других измерений.

Лит.: Васманов В. В. Вычислительные математические приборы. М., Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М., 1962 [библиогр. с. 873—878]; Дрейер А. А., Черепенникова Ю. Н. Автоматизированная система статистической обработки материалов измерений на ЭЦВМ «Сетунь». М., 1968 [библиогр. с. 171— 172]; Иванов В. В. Алгоритмы автоматической оценки вероятностных характеристик производственных процессов. В кн.: Труды I Всесоюзного симпозиума по статистическим проблемам в технической кибернетике. М., 1970; Сергиенко И. В. [и др. Некоторые вопросы построения автоматизированной системы обработки статистических данных. «Кибернетика», 1970, ; 3адирака В. К. Оценка преобразования Фурье. «Кибернетика», 1971, № 4.

В. К. Задирака, В. В. Иванов, И. В. Сергиенко.