МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ

— математическая теория, которая лежит в основе большинства разделов современной математики и оказывает глубокое влияние на формирование концепций в ряде областей науки и техники. Основы М. т. заложил нем. математик Г. Кантор. Мн-во есть собрание (набор, совокупность) предметов, называемых элементами мн-ва; как осн. понятие теории, понятие мн-ва не подлежит логическому определению. Мн-во может быть задано указанием общего свойства его элементов (мн-во всех четных чисел; мн-во всех слов любого языка) или прямым перечислением элементов (мн-во всех деталей какой-нибудь машины), х означает, что х есть элемент мн-ва — что у не есть элемент мн-ва В. Если из х следует х, то А наз. подмножеством, или частью В. A CZ В означает, что А есть часть В; мн-во всех частей обозначается через . В число подмножеств В входит само В; остальные подмножества наз. собственными. Кроме того, для удобства вводят еще пустое мн-во 0 (мн-во, не содержащее никаких элементов) и считают его частью любого мн-ва. означает мн-во из единственного элемента из трех элементов мн-во тех х, для которых верно высказывание напр., есть интервал (0,1) действительной оси R. В 1902 англ. ученый Б. Рассел обнаружил, что приведенное выше понятие мн-ва требует уточнения, т. к. свободное обращение с ним приводит к противоречиям — парадоксам. Для устранения парадоксов были предложены различные аксиоматические системы М. т. - теория типов Б. Рассела, аксиоматические системы Цермело — Френкеля, Бернайса — Гёделя и др., в которых вводятся ограничения на допустимые теоретико-множественные конструкции и на само понятие мн-ва. Так, напр., в системе Бернайса — Гёделя интуитивному понятию мн-ва соответствует понятие класса, и только некоторые классы оказываются мн-вами в теории Бернайса — Гёделя. Исследования по аксиоматическим системам М. т. получили общее название аксиоматической теории

Отображение (функция, оператор) есть закон соответствия, сопоставляющий каждому элементу мн-ва А некоторый (единственный) элемент множества означает, что задано отображение А в В, называемое . Элемент сопоставляемый образом прообразом у. Пусть мн-во упорядоченных пар ), называемое прямым произведением А X В; тогда задание отображения равносильно заданию подмножества всех пар для которых также графиком . Простейшие примеры представляют отображения Н в себя, т. е. обычные ф-ции действительного аргумента; в этом случае плоскость, а график приобретает обычный смысл. Соответствие задает тождественное отображение , графиком которого является диагональ . Если есть мн-во образов всех , то У наз. образом X при отображении Если при этом для х, то прообразом инъективным отображением, если из следует, что сюръективным, если биективным, если инъективно и сюръективно. В последнем случае существует обратное отображение сопоставляющее каждому элементу его прообраз, притом единственный. Пусть тогда существует отображение о мн-ва А в С, заданное правилом: если то элементу соответствует композицией отображений Если биективны, то биективно, и Если . В инъективно, то . И наоборот, если то инъективно. Если то сюръективно; если то биективны и обратны друг другу. Последнее предложение служит стандартным приемом доказательства биективности: для заданного строят удовлетворяющее предыдущим соотношениям. Если А, В — части , инъективность означает, что график пересекается каждой прямой не более чем в одной точке; сюръективность — что

проекция графика на ось у совпадает с В. Для удобного обозрения сложных систем отображений пользуются диаграммами, в которых символы мн-в соединены стрелками, изображающими отображения (рис. 1).

Каждому пути на диаграмме соответствует композиция отображений; если путям с общим началом и общим концом соответствует одно и то же отображение, диаграмма наз. коммутативной. Напр., коммутативность приведенной на рис. диаграммы означает, что

Коммутативные диаграммы часто встречаются в математике и играют эвристическую роль во многих доказательствах.

Операции над множествами. Пусть А, В — мн-ва. Объединением . В этих мн-в наз. мн-во всех элементов, принадлежащих либо либо В (в широком смысле, т. е., возможно, и А, и В). Пересечением мн-во всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Разностью наз. мн-во всех элементов А, не принадлежащих В (причем не обязательно должно быть . Для наглядного представления этих операций используют «круги Эйлера» (рис. 2): на левом заштриховано , на верхнем , на нижнем — .

Аналогично определяются объединение и пересечение любого конечного числа напр., есть мн-во элементов, принадлежащих одновременно А, В, С. Операции над мн-вами играют важную роль в вероятностей теории и статистике, алгоритмов теории и теории автоматов, в логике, в общих вопросах кибернетики, а также во многих тех. вопросах (программирование, электр. сети и т.д.).

Семейства множеств. Пусть I — мн-во, элементы которого индексами. Если каждому поставлено в соответствие мн-во то говорят, что задано семейство с индексами из I. Напр., если I — отрезок натурального ряда то упорядоченное семейство если I — мн-во всех натуральных чисел , то последовательность множеств если , то зависящее от действительного параметра I. Объединением мн-в семейства мн-во всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из ; пересечение мн-во всех элементов, принадлежащих каждому из А. (объединение обозначают пересечение — . Произведeдением семейства мн-во всех отображений мн-ва в для которых образ каждого i принадлежит мн-ву с тем же индексом; т. о., элемент мн-ва произведения задается системой образов лежащих по одному в каждом мн-ве семейства. Если мн-во точек плоскости, для которых то объединение есть вся плоскость, пересечение начало координат, а произведение состоит из всех последовательностей точек плоскости для которых отстоит от начала менее), чем на n. Если , то произведение состоит из всех упорядоченных последовательностей , где ; если из всех последовательностей , где также Алгебра множеств).

Конечные и счетные множества. Мн-ва А, В наз. равномощными, если существует биективное отображение А на В (или В на А). Мн-во А, равномощное некоторому отрезку натурального ряда конечным. Т. о., элементы конечного мн-ва можно занумеровать соответствующими им при биективном отображении числами кардинальным числом конечного мн-ва. Мн-во А из элементов имеет различных подмножеств, включая саадо мн-во А и пустое мн-во 0; отсюда ясно обозначение для мн-ва всех частей А. Определение мощности конечных мн-в является предметом комбинаторного анализа. Характерным свойством любого бесконечного мн-ва является его равномощность некоторому собственному подмножеству. Это свойство может быть положено в основу определения бесконечного мн-ва (определение по Дедекинду).

Простейшим бесконечным мн-вом является мн-во натуральных чисел равномощное счетным; его элементы могут быть занумерованы в последовательность соответствующими числами если все элементы некоторой последовательности различны, то правило задает биективное отображение , где А — мн-во всех элементов последовательности; тем самым А счетно. Объединение конечного числа конечных мн-в есть конечное мн-во; его нумерацию можно получить, последовательно пронумеровав

первое, второе, последнее мн-ва семейства. Объединение счетного числа счетных мн-в счетно; нумерация элементов производится так, как указано на схеме, где строка состоит из пронумерованных элементов -ого мн-ва, а стрелки проходят в порядке их номеров:

Аналогично доказывается, что объединение счетного числа каждое из которых конечно или счетно, и объединение конечного числа счетных мн-в суть счетные мн-ва. Произведение конечных числа элементов которых равны есть снова конечное мн-во из элементов. Произведение конечного числа счетных счетно; нумерация кортежей где каждое пробегает счетное мн-во производится по словарному принципу: Всякое не конечное и не счетное мн-во наз. несчетным. Простейшим примером несчетного мн-ва является мн-во действительных чисел В (континуум) (см. Кардинальные числа). Важнейшими несчетными мн-вами являются арифм. пространства и их подмножества; можно определить как мн-во кортежей действительных чисел, т. е. произведение экземпляров числовой оси R (введение метрики превращает в -мерное евклидово пространство).

Можно указать множества, мощность которых больше мощности континуума, но множества наибольшей мощности не существует (подобно тому, как не существует наибольшего натурального числа). Это является следствием того, что мощность множества всех подмножеств некоторого множества А строго больше мощности А Иначе говоря, какой бы мощности ни было данное множество, всегда можно образовать множество его подмножеств, которое будет иметь большую мощность. Так Р (N), где N — счетное множество натуральных чисел, несчетно; его мощность равна мощности континуума.

Шкалы множеств. Пусть дано конечное семейство . К ним можно применить операции произведения и взятия частей, что приводит ко мн-вам

Присоединим их к исходному семейству и применим к полученному семейству те же операции, и т. д. Все мн-ва, которые могут быть получены таким способом в конечное число ппгов, составляют шкалу с базой Напр., к шкале принадлежат мн-ва

Структуры. Если во мн-ве некоторой шкалы мн-в задано подмножество Г, то каждый элемент определяет на базе этой шкалы структуру рода Г. Понятие структуры имеет основное значение для современного построения математики. Объясним на примерах, каким образом специализация этого понятия приводит ко всевозможным матем. понятиям (это дает возможность описывать процесс формирования понятий общей схемой М. т. (по Н. Вурбаки)). Пусть база состоит из одного мн-ва А. Рассмотрим в под-мн-во X, элементы которого обладают следующими свойствами ; если то . Все мн-ва X такого рода составляют подмножество Структура рода Г есть произвольное фиксированное мн-во X, т. е. произвольный фиксированный элемент Г; такая структура наз. структурой порядка. Вместо пользуются специфическим обозначением Рассмотрим для той же базы мн-во шкалы и в нем произвольное подмн-во X, элементы которого удовлетворяют аксиоме: для любых х, существует одно и только одно z, такое, что . Тогда состоит из всех описанных и фиксированный элемент Г есть бинарная операция на Дальнейшие аксиомы, налагаемые на X, приводят, напр., к структуре группы; при этом Г суживается. Пусть база состоит из двух мн-в Выделим во мн-ве подмножество X, элементы которого удовлетворяют аксиоме: для любых х существует одно и только одно такое , что . Все такие X составляют мн-во Г СГ СГ элемент есть операция мн-ва В на мн-ве Наложение дальнейших аксиом приводит к структуре линейного пространства на или как говорят, на А «над В». Рассмотрим еще для базы А мн-во . некоторое мн-во частей А), удовлетворяющее аксиомам: если то если конечно, то . Все такие X составляют подмножество фиксированный элемент Г есть топологическая структура на А (см. Топология).

Морфизмы суть отображения сохраняющие заданную на них структуру Напр., если на А и на В заданы бинарные операции, то морфизм есть такое отображение, для которого если на А и на В заданы топологические структуры помощью систем подмножества соответственно то морфмзм

есть такое отображение, что из следует . С помощью понятий структуры и морфизма можно описать в общем виде матем. теорию с содержательной стороны (не смешивать с формальным описанием в виде логико-математических исчислений). В основе такой теории лежит категория. С помощью функторов устанавливаются связи между матем. теориями и объединяют эти теории в общую конструкцию современной математики (см. Алгебраическая топология).

Лит.: Александров П. С. Введение в теорию множеств и теорию функций, ч. 1. М.- Л., 1948; Хаусдорф Ф. Теория множества. Пер. с нем. М.- Л., 1937 [библиогр. с. 291-295]; Fraenkе1 A. A., Ваг - Нi11е1 J. Foundations of set theory. Amsterdam, 1958; Бурбаки H. Начала математики, ч. 1. Основные структуры анализа, кн. 1. Теория множеств. Пер. с франц. М., 1965; Келли Дж. Л. Общая топология. Пер. с англ. М., 1968 [библиогр. с. 361—376]; Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. М., 1968. А. В. Гладкий.