ПОЛНОТА ФОРМАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

— свойство теории, состоящее в том, что в ней выводимы все формулы, «верные» в некотором смысле. Формальная теория полной относительно непустого класса моделей этой теории, если любая формула теории X, истинная в каждой модели класса ЭЛ, выводима в X. Это позитивная форма полноты. Полноту относительно класса всех моделей данной теории иногда наз. семантической.

Формальная теория - С наз. полной в негативном смысле, если после присоединения к аксиомам теории любой невыводимой ф-лы теория перестает быть непротиворечивой (см. Непротиворечивость системы аксиом). Такая форма полноты наз. негативной. Пусть среди символов теории имеется символ отрицания. Пусть разрешимое подмножество мн-ва правильно построенных формул теории такое, что если некоторая ф-ла принадлежит , то и ее отрицание принадлежит 25. Формальная теория полной относительной, если 25 содержится в объединении мн-ва всех выводимых теории X и мн-ва всех формул, отрицание которых выводимо. Если формальная теория не содержит свободных предикатных переменных и в качестве взято мн-во всех замкнутых то теория, полная относительно такого просто полной. Непротиворечивая и полная в негативном смысле теория является и просто полной. Просто полная непротиворечивая теория является полной относительно любого класса ее моделей. Любая непротиворечивая теория, основанная на исчислении предикатов узком, полна относительно класса всех ее моделей. Но она может оказаться неполной относительно других классов моделей, просто неполной или неполной в негативном смысле. Если непротиворечивая теория просто неполна, то она является неполной относительно некоторого класса ее моделей (быть может, состоящего только из одной модели). Непротиворечивая просто полная теория, мн-во нелогических аксиом которой перечислимо, является разрешимой.

Примеры. 1. Классическое исчисление высказываний полно относительно объединения мн-ва всех тождественно истинных и мн-ва всех тождественно ложных полно в негативном смысле и полно относительно любого класса моделей.

2. Классическое узкое исчисление предикатов полно относительно класса всех его моделей (теорема Гёделя о полноте), но являете» неполным в негативном смысле и просто неполным.

3. Классическая арифметика формальная, если считать ее непротиворечивой, полна относительно класса всех ее моделей (поскольку она основана на узком исчислении предикатов), но является неполной относительно «естественной модели» — натурального ряда с обычными арифм. операциями и равенством, просто неполной и, тем более, неполной в негативном смысле (см. Гёделя теоремы о неполноте).

Лит.: К. П. Вершинин.