ПРОСТРАНСТВО АБСТРАКТНОЕ в функциональном анализе

— множество, в котором тем или иным способом определено понятие предела последовательности; П. а. — основной объект исследования в математике. Если элементами пространства (п.) являются ф-ции или числовые последовательности, то оно наз. функциональным. В вычислительной математике и прикладной математике наиболее широко используются метрические, нормированные, унитарные и псев-дометрические п., а также компактные п. и мн-ва. Мн-во X наз. метрическим п., если каждой паре его элементов (точек) х и у поставлено в соответствие неотрицательное число удовлетворяющее следующим условиям: 1) тогда и только тогда, когда тождества);

2) (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника). Число р расстоянием между элементами х и у. В метрическом п. могут быть введены многие важнейшие понятия теории точечных расположенных на прямой: напр., элемент пределом последовательности , если при мн-во элементов х, для которых , наз. -окрестностью элемента . Примерами конкретных метрических п. могут служить: 1) - -мерное евклидовое всех упорядоченных систем из вещественных чисёл, с (Е) — совокупность всех непрерывных ф-ций, заданных на замкнутом мн-ве Е, с чебышовской метрикой мн-во ф-ций, заданных на спрямляемой кривой Г с интегрируемой степенью мн-во числовых последовательностей, суммируемых в степени, мн-во всех числовых последовательностей,

М-во X наз. нормированным п., если оно линейно, т. е. в нем определены операции сложения и умножения элементов на числа, подчиняющиеся обычным правилам векторной алгебры, и каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое наз. нормой этого элемента, обозначается и удовлетворяет следующим условиям: тогда и только тогда, когда нуль-элемент мн-ва где с — любое число. В нормированном п. можно ввести метрику посредством равенства Сходимость в этой метрике наз. сходимостью по норме, или сильной сходимостью. Последовательность сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью, если для любого числа найдется номер по такой, что при Если каждая фундаментальная последовательность сходится по норме к некоторому пределу, то п. полным, или пространством Банаха. Примерами п. Банаха могут служить те же метрические п. в которых

Унитарное п. X — это такое линейное п., в котором каждой паре элементов х, ставится в соответствие действительное или комплексное число называемое скалярным (внутренним) произведением этих элементов и удовлетворяющее следующим условиям: означает переход к комплексно сопряженной величине); для ; число нормой элемента х. Если унитарное п. X полно, то его наз. гильбертовым п. П. 12 становится гильбертовым, если для любых двух его элементов положить Другим примером гильбертова может служить — пространство ф-ций, определенных на спрямляемой кривой Г и таких, что где весовой функцией. Скалярное произведение в этом п. определяется ф-лой . В частности, при получаем гильбертово п. Два элемента ортогональными, если Система элементов ортонормированной системой,

Примером такой системы является система Числа коэфф. Фурье элемента х относительно системы псевдометрически если любой паре элементов х, ставится в соответствие псевдорасстояние являющееся элементом линейного, частично упорядоченного (вообще говоря, другого) п. Н, т. е.

п., в котором для некоторых пар его элементов h, g определено отношение порядка с обычными свойствами знака и удовлетворяющее следующим условиям: 1) нуль-элемент) тогда и только тогда, когда для любой тройки х, Мн-во га-мерных векторов будет псевдометрическим п., если расстояние определить как вектор с компонентами где положительные постоянные; при этом h g может означать, напр., покомпонентные неравенства Мн-во непрерывных ф-ций будет псевдометрическим п., если положить где р в области Е.

Мн-во К, расположенное в метрическом п. компактным, если всякая подпоследовательность элементов этого мн-ва содержит сходящуюся последовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлежат К, то К наз. компактным в себе. Для компактности К в метрическом п. X необходимо, чтобы для любого числа существовала конечная -сеть для К, т. е. чтобы любой элемент К попал в -окрестность по крайней мере одного из конечного числа элементов X. Мн-во элементов К в ряде важнейших нормированных функциональных п. X будет компактным тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, т. е. независимо от .

Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.. 1965 [библиогр. с. 512—513]; Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Пер. с нем. М., 1969 [библиогр. с. 422—431]. В. В. Иванов.