ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Вычисление элементарных ф-ций (э. ф.) на ЭЦВМ является одной из самых распространенных матем. операций и имеет большое практическое значение. Под э. ф. понимается ф-ция у = f (х), содержащая конечное число вычисл. операций, производимых над аргументом, зависимой переменной и некоторыми постоянными. Под вычисл. операциями здесь понимается четыре арифм. действия, возведение в целую степень, извлечение корня, взятие тригонометрических и обратных им ф-ций, логарифмирование и потенцирование.

Э. ф. в основном делятся на алгебр, и трансцендентные. Простейшей алгебр, ф-цией является степенная ф-ция где — действительное число. Простейшими трансцендентными ф-циями являются: показательная ф-ция где ; логарифмическая ф-ция где тригонометрические ф-ции обратные тригонометрические ф-ции и др. Кроме перечисленных выше на практике часто употребляются и более сложные такие, как прямые и обратные гиперболические ф-ции, целые алгебр, многочлены и дробно-рациональные алгебр, ф-ции. При вычислении на ЭЦВМ используются различные численные методы. Выбор метода вычисления зависит прежде всего от таких важнейших характеристик ЭЦВМ, как быстродействие, разрядность, форма представления чисел, емкость запоминающих устройств и т. д. Осн. методами вычисления являются следующие: степенные разложения, многочленные приближения, разложения в цепные дроби, рациональные приближения, итерационные процессы. Иногда ищутся как решения дифф. ур-ний. Остановимся на некоторых из перечисленных выше методов.

Наиболее просто степенные ряды (разложения) получаются при помощи разложения в ряд Тейлора — Мак-лорена

Так, напр., степенное разложение ф-ции может быть записано в следующем рекуррентном виде:

Т. к. разложение в ряд Тейлора — Маклорена является наилучшим только в окрестности точки естественно, оно не может удовлетворить потребности практики для вычисления на заданном интервале. Так, напр., для получения 10 верных цифр при вычислении ф-ции когда требуется членов разложения в ряд Тейлора и всего 14 членов при разложении по полиномам Чебышева.

Одним из простейших методов получения разложений по полиномам Чебышев а является метод экономизации степенных рядов. Суть метода состоит в уменьшении числа членов степенного ряда за счет замены членов ряда с высокими степенями соответствующими полиномами Чебышева. Используя свойство ортогональности полиномов Чебышева, можно непосредственно получить разложения по этим полиномам (для х ее [-1,1]) в виде , где полиномы Чебышева первого рода

Так, напр., , где ф-ция Бесселя первого рода порядка n мнимого аргумента. Промежуточное положение между разложениями в ряд Тейлора — Маклорена и разложениями по полиномам Чебышева занимает разложение в ряды невязок, имеющие вид

где — приближенное значение искомой причем неявная ф-ция когда точно совпадает со значением в точке х. В тех случаях, когда из ур-ния можно найти и разложить ф-цию в ряд Тейлора — Маклорена по степеням получим искомое разложение в ряд невязок. Так, для ф-ции взяв получим откуда

При получаем разложение ф-ции в ряд Тейлора—Маклорена. В качестве начального приближения выгодно брать наилучшие приближения на заданном интервале изменения аргумента. Ряд невязок более быструю сходимость на заданном интервале, чем разложение в ряд Тейлора, но имеет более медленную сходимость, чем разложение по полиномам Чебышева. Так, для ф-ции при для получения 10 верных цифр необходимо взять 14 членов разложения в ряд Тейлора, И членов разложения в ряд невязок с наилучшим постоянным приближением и 9 членов при разложении по полиномам Чебышева. К преимуществам разложения в ряд невязок необходимо отнести тот факт, что они имеют легко вычисляемые коэффициенты.

Важную роль при вычислении играют итерационные процессы. Итерационные ф-лы до четвертого порядка включительно могут быть получены на основе модифицированного метода Чебышева

где аргумент, искомая Оставив в ф-ле два члена, пэлучим известный метод Ньютона, т. е. итерационный метод второго порядка. Итерационные ф-лы до четвертого порядка включительно для вычисления могут быть получены из ур-ния в виде:

Подставив в эту выражение получим соответственно выражения относительных погрешностей для итерационных второго, третьего и четвертого порядков в виде

В качестве начальных приближений для итерационных берутся обычно начальные приближения в виде полиномов нулевой и первой степени, обладающие миним. величиной либо либо относительной погрешности. Наилучшие начальные приближения выпуклой (вогнутой) ф-ции на для или обладающие миним. величиной абс. ошибки, определяются по формулам

значение с находят из ур-ния Наилучшие начальные приближения выпуклой обладающие миним. величиной относительной погрешности, определяются по формулам

- величину с находят из ур-ния . Важную роль при вычислениях на ЭЦВМ, работающих

тающих с произвольной значностью, играют рекуррентные полученные на основе выражений вида либо путем замены при принятом обозначении На основе оценок погрешностей полученных рекуррентных в эти ф-лы в случае необходимости вводят нормирующий множитель, уменьшающий их погрешность. Примером ф-лы такого типа может служить выражение для вычисления имеющее вид где откуда

Лит.: Линский B. C. Вычисление элементарных функций на автоматических цифровых машинах. В кн.: Вычислительная математика, сб. 2. М., 1957; Люстерник Л. А., Червоненкис О. А., Янпольский А.Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. М., 1963 [библиогр. с. 240—245]; Теслер Г. С. Вычисление некоторых элементарных функций на ЦВМ. В кн.: Математическое обеспечение ЭВМ и эффективная организация вычислительного процесса, в. 2. К., 1967; Благовещенский Ю. В., Дородницына А. А. Вычисление элементарных трансцендентных функций на ЭВМ с произвольной значностью. В кн.: Математическое обеспечение ЭВМ и эффективная организация вычислительного процесса, в. 1. К., 1967. Ю. В. Благовещенский, Г. С. Теслер.