РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДЫ

— аппарат анализа процессов, протекающих в заданных электрических цепях (ЭЦ), и определения их параметров, т. е. распределения токов, напряжений, эдс и т. п.

Разработано много различных Р. э. ц. м., эффективность применения которых зависит от конфигурации ЭЦ, от типа ЭЦ (линейная или нелинейная ЭЦ, с постоянными или с переменными параметрами, с сосредоточенными или распределенными параметрами и т. п.), от видов сигналов источников энергии (постоянные или переменные сигналы, которые в свою очередь делятся на периодические и непериодические, а также синусоидальные, экспоненциальные, пилообразные и т. п.), от характера исследуемого режима (установившийся или переходной) и т. п.

Наиболее разработаны методы анализа линейных ЭЦ, для которых применим т. н. принцип наложения (принцип суперпозиции). Согласно этому принципуследствия, вызываемые в некоторой физ. обстановке совместным действием нескольких однородных причин, являются суммой следствий, вызываемых в той же обстановке каждой из этих причин в отдельности. Использование этого принципа дает возможность распространить результаты, полученные для простых случаев, на случаи более сложные. В связи с этим принципом разработан метод расчета линейных ЭЦ, согласно которому сложная задача расчленяется на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна эдс или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими.

Основу систем уравнений э. ц. м. составляют соотношения между основными электр. величинами для каждой отдельной ветви ЭЦ (связь между током и напряжением) и правила Кирхгофа. В связи с зтим могут быть получены соответственно следующие три группы ур-ний. К первой группе ур-ний относят ур-ния для отдельных элементов ЭЦ, записанных, например, для линейных ЭЦ на основании закона Ома. Вторая группа составляется на основе применения к каждому узлу ЭЦ первого правила Кирхгофа, согласно которому алгебр, сумма токов, втекающих (вытекающих) в замкнутую поверхность, равна нулю, т. е.

Третья группа ур-ний составляется на основе применения к замкнутым контурам ЭЦ второго правила Кирхгофа, согласно которому во всяком замкнутом контуре алгебр, сумма напряжений и эдс во всех ветвях равна нулю, т. е.

Расчет заданной ЭЦ всегда можно выполнить путем решения полной системы ур-ний второй или третьей группы с учетом ур-ний первой группы, однако с точки зрения упрощения вычислительных процедур в большинстве случаев оказывается более целесообразным составить иное матем. описание ЭЦ. Так, опираясь на понятия теории систем, для ЭЦ составляют векторные ур-ния пространства состояний

где вектор переменных состояния; вектор произвольных функций входов (напр., независимые источники тока, напряжения), определенный в области изменения независимого аргумента вектор интересующих переменных (выходов ЭЦ); g и вектор-функции, характеризующие структуры отдельных составляющих ЭЦ и связей между ними. Выбор вектора состояния в качестве основного вектора переменных ЭЦ облегчает использование методов матричного исчисления и векторного анализа для операций с большим числом неизвестных, входящих в исследуемые задачи.

В случае линейных ЭЦ с постоянными параметрами ур-ния состояния принимают стандартный вид (см. Электрических цепей теория)

Однако, для целей анализа более удобна нормальная форма ур-ний состояния

где и М — модальные матрицы.

В этом случае дифф. ур-ния оказываются решенными относительно новых переменных состояния , т. е. они имеют вид что приводит к упрощению анализа, где — вынужденная ф-ция, воздействующая на переменную состояния.

Для анализа динамических процессов в ЭЦ используют различные формы представления сигналов и параметров цепей — комплексная, операторная, точечная и т. п.

Различают методы анализа, для которых эффект уменьшения к-ва вычислений достигается с помощью применения методов формального преобразования собственно ЭЦ (методы трансфигурации — преобразования — подсхем) и методы, общая идея которых заключается в особом выборе группы сигналов, характеризующих отдельные составляющие процессы в сложной ЭЦ, для которой можно составить и решить независимую систему ур-ний и через которую при помощи достаточно простых зависимостей можно выразить все оставшиеся неизвестные сигналы. Кроме того, существует отдельная группа методов расчета (прямые методы), которая позволяет в случае необходимости проще находить лишь искомые компоненты процесса в ЭЦ. Методы трансфигурации основаны на возможности замены ЭЦ в целом или отдельных ее частей (подсхем) более простыми цепями по определенным правилам. При таких преобразованиях интересующая система токов и напряжений (компонент действующих сигналов) не изменяется (эквивалентные преобразования), Наряду с эквивалентными преобразованиями применяют и неэквивалентные преобразования; в результате замен получают новую ЭЦ с иными, чем в исходной цепи, сигналами, геометрическим образом и числом узлов и контуров, но такую, что между ее системой токов, напряжений и эдс и системой исходной ЭЦ сохраняется заданная взаимосвязь. При расчете по методам трансфигурации можно

выделить следующие этапы. 1) Расщепление ЭЦ на ряд подсхем, для каждой из которых ур-ния составляют в такой форме, которая позволяет упростить дальнейшее преобразование цепи. 2) Путем постепенного преобразования (свертывания) отдельных подсхем заданную цепь приводят к простейшему виду. 3) После расчета полученной цепи выполняют обратное преобразование цепи и приведение ее к исходному виду с одновременным нахождением всех искомых величин.

Простейшими примерами эквивалентных преобразований являются метод свертывания параллельных ветвей, метод эквивалентного генератора, метод преобразования -лучевой звезды в эквивалентный многоугольник и др. Особо следует отметить обобщенный метод трансфигурации (метод подсхем). Осн. особенностью этого метода является то, что при составлении ур-ний подсхем стараются получить их в такой форме, при которой не требуется решения ур-ний связей между подсхемами. С этой целью все токи и напряжения отдельных подсхем цепи подразделяются на следующие четыре группы: входные величины, характеризующие начало подсхемы; выходные величины, характеризующие конец подсхем; суммирующие величины; общие величины. В общем случае представляют многомерные векторы. Компонентами этих векторов могут быть токи и напряжения полюсов подсхем, а также их линейные комбинации. При расчете линейных цепей связь между этими векторными величинами выражается в виде линейных ур-ний, в качестве которых могут быть взяты, например, следующие:

где - некоторые матрицы; векторы. Эти ур-ния являются основой обобщенного метода трансфигурации. Они составлены таким образом, что входные и суммирующиеся величины выражаются через выходные и общие. Такой способ составления осн. ур-ний ведет к макс. упрощению процедуры нахождения параметров эквивалентной цепи, так как она сводится или к простому суммированию матриц и векторов, или к операциям их умножения. Методы трансфигурации применимы к расчету сколь угодно сложных линейных ЭЦ. Применимость их для нелинейных ЭЦ ограничивается лишь некоторыми частными случаями.

Вторая группа методов имеет общее условное наименование методов определяющих координат (неизвестных). В эту группу входят метод контурных токов, метод узловых напряжений и общий метод определяющих координат. В методе контурных токов за осн. неизвестные выбирают те токи, которые представляют собой систему независимых токов в контурах цепи. При этом система из ур-ний будет иметь вид , где b — число узлов, — число ветвей — векторы соответственно контурных токов и суммарной матрица сопротивлений, причем собственное сопротивление и суммарная контура, взаимное сопротивление между контурами. Для линейных ЭЦ матрица R симметричная, причем для цепей постоянного тока выполняется соотношение которое для цепей переменного тока не всегда справедливо. Для метода узловых напряжений в качестве определяющих неизвестных принимают напряжения узлов по отношению к некоторому базисному. С помощью первого правила Кирхгофа для каждого узла составляется система ур-ний в матрично-векторной форме где G — матрица собственных и взаимных проводимостей узлов, I — вектор независимых токов. Общие свойства матрицы G аналогичны свойствам матрицы R, однако для сложных ЭЦ, в которых число узлов меньше половины числа ветвей, порядок системы ур-ний по методу узловых напряжений, а следовательно, и мерность матрицы G, оказывается ниже, чем по методу контурных токов . В общем методе определяющих координат расчет цепей, как и в методах контурных и узловых напряжений, подразделяется на два этапа. Сначала составляют и решают ур-ния для определяющих токов и напряжений. Число определяющих величин выбирают минимально возможным. На втором этапе вычисляют все требуемые токи и напряжения, используя найденные определяющие величины и привлекая к расчету ур-ния, составляемые по закону Ома и правилам Кирхгофа. Пусть, напр., имеется некоторая ЭЦ с яислом неизвестных N, причем схема цепи такова, что неизвестных могут быть выражены через определяющих неизвестных. Обозначая эти последние через можно написать ур-ния для вспомогательных неизвестных

и, кроме того, ур-ний общего вида

Путем подстановки ур-ний первой системы во вторую можно получить систему

в которую входят только осн. (определяющие) неизвестные. Решив ее одним из методов (для нелинейных ур-ний, напр., методом Ньютона, наискорейшего спуска методом и т. п.), можно затем определить и остальные неизвестные с помощью ур-ний первой системы. Методы контурных токов и узловых напряжений являются частными случаями общего метода определяющих координат, когда в качестве определяющих величин выбраны соответственно или все контурные токи, или все узловые напряжения. В общем же случае в качестве осн. неизвестных можно выбирать одновременно как токи, так и напряжения.

При расчетах ЭЦ иногда необходимо определять не все токи и напряжения, а лишь некоторые из них. Методы, позволяющие находить требуемые токи и напряжения непосредственно или при помощи простых вспомогательных расчетов, наз. прямыми. В зависимости от характера искомых величин (токи, напряжения или же и токи и напряжения) прямые методы соответственно подразделяют на метод токов, метод напряжений и смешанный метод. Идея прямых методов заключается в следующем. Точки ЭЦ, между которыми требуется найти напряжения, замыкаются накоротко, а проводники, в которых требуется определить токи, размыкаются. В результате получается некоторая новая цепь, которая наз. основной. Расчет осн. цепи дает токи в местах короткого замыкания и напряжения между точками разрыва. Эти токи и напряжения являются правыми частями некоторой системы ур-ний, из которой можно найти искомые токи и напряжения в заданной цепи. Коэффициенты этой системы получаются как токи и напряжения в осн. цепи под действием вспомогательных источников единичных задающих токов и напряжений, поочередно включаемых в точки короткого замыкания и разрыва заданной цепи. При составлении расчетной системы ур-ний учитывают, что действительные токи в точках искомых напряжений, и напряжения в точках искомых токов равны нулю. Порядок системы ур-ний определяют числом искомых токов и напряжений цепи. Прямые методы позволяют составить систему ур-ний только для интересующих величин.

Системы ур-ний при расчете линейных ЭЦ удобно записывать в матричной форме. При использовании матричной записи расширяются возможности выполнения преобразований ЭЦ в общем виде. Комплексная запись системы ур-ний в матричной форме полезна также в связи с тем, что при использовании вычислительных машин для расчета ЭЦ широко применяют методы программирования и рационального решения систем ур-ний в их матричной записи.

Для любой ЭЦ без изменения токораспре-делеиия любое из сопротивлений можно заменить эдс, численно равной падению напряжения в заменяемом сопротивлении и направленной навстречу току в сопротивлении. Для линейных ЭЦ дополнительно справедлив принцип взаимности, согласно которому при взаимном перемещении эдс из одной ветви в другую ее действие (в виде появляющегося тока) на противоположную цепь не меняется. Указанные свойства широко используются при анализе простых и сложных ЭЦ.

Описанные выше методы расчета справедливы для ЭЦ с сигналами постоянного уровня и при соответствующей векторной записи для ЭЦ с переменными сигналами. Особое значение приобретают ЭЦ с переменными и нелинейными параметрами. Решение системы ур-ний, описывающей такие ЭЦ, сложно даже для сравнительно простых цепей, поэтому разработано много спец. методов, позволяющих более эффективно анализировать процессы в ЭЦ. Для ЭЦ со ступенчато изменяемыми во времени сопротивлениями, напр., используется метод, основанный на предварительном составлении т. н. временных цепных схем, в которых отдельные подсхемы соответствуют ЭЦ с инвариантным состоянием параметров в отдельные промежутки времени. Этот же метод используют и для приближенного расчета ЭЦ с непрерывно изменяемыми параметрами. Периодические процессы в ЭЦ с периодически же изменяемыми параметрами удобно рассчитывать путем применения правил и формул комплексного исчисления. Комплексный метод является обобщением метода комплексных амплитуд расчета цепей переменного тока. Этот метод имеет много общего с операторным методом. Он особенно удобен при изучении периодических режимов. Исследуемые цепи могут иметь как постоянные, так и переменные параметры и могут быть также нелинейными. Метод основан на применении прямого и обратного преобразований Фурье с конечными пределами

Здесь комплексная амплитуда гармоники (комплексное изображение) ф-ции f (t), рассматриваемой в промежутке - круговая частота осн. гармоники, п — число учитываемых гармоник. Для расчета нелинейных ЭЦ также применяют метод эквивалентных синусоид, метод гармонического баланса, метод медленно меняющихся амплитуд и т. д. При расчете переходных процессов в нелинейных ЭЦ и в ЭЦ с переменными параметрами находят применение интегральные методы расчета, основанные на применении

различных форм закона Ома — Дюамеля

Эти методы позволяют просто переходить от общих выражений к численным путем применения известных формул численного интегрирования и получать при этом более точные результаты, чем, напр., при применении конечноразностных методов. Эти методы облегчают также численные расчеты переходных процессов цепей с нелинейными и переменными параметрами по сравнению с методами, основанными на преобразованиях ф-ций методами Лапласа и Фурье, так как при этом не возникает необходимости выполнять операции установления связей между токами и напряжениями нелинейных элементов и элементов с переменными параметрами в операторной и комплексной формах.

Лит. См. к ст. Электрических цепей теория.

В. В. Аристов.