ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

— одна из задач предсказания случайных процессов теории. Э. с. п. состоит в построении оценки значения случайного процесса в точке не принадлежащей множеству Е, по результатам наблюдения процесса на Е. Иначе говоря, требуется указать такой функционал от результатов наблюдения, который можно было бы с наибольшим основанием приравнять к значению Е (t). Обычно в качестве меры точности экстраполирования принимают среднеквадратическую погрешность Оценка, для которой среднеквадратическая погрешность минимальна, имеет вид

Ф-ла (1) определяет условное математическое ожидание при известных . Однако, построение с помощью соотношения (1) явных экстраполяционных возможно лишь в исключительных случаях: либо когда имеется явное выражение для условного распределения при известных , либо при некоторых спец. предположениях относительно процесса марковский процесс; компонента многомерного марковского процесса). В практически важном случае гауссовского случайного процесса оптим. экстраполирование линейно выражается через результаты наблюдения. Поэтому при изучении задач экстраполирования часто ограничиваются рассмотрением линейных функционалов (см. Оператор) от результатов наблюдения (задача линейного Э. с. п.). Ограничение одними только линейными функционалами уменьшает точность экстраполирования, но это компенсируется существенным упрощением задачи и удобством практического

использования получаемых результатов. Если наилучшую линейную оценку значения искать в виде где с неизвестная весовая функция, то из условия минимума среднеквадратической погрешности для ф-ции с получается интегральное уравнение

Здесь корреляционная функция процесса g (t), предполагающаяся известной. В ряде случаев (при спец. предположениях относительно Е и процесса можно получить явные решения интегр. ур-ния (2). В частности, явные решения задачи Э. с. п. получены для стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью. Характер получаемых при этом результатов можно проиллюстрировать следующими примерами.

Пример 1. Если стационарный случайный процесс со спектральной плотностью все прошлое процесса , то , где некоторые константы, производная порядка I процесса в точке 0.

Пример 2. Если стационарный случайный процесс со спектральной плотностью то Если тот же процесс наблюдается на то

Здесь константы, зависящие от и а.

Методы Э. с. п. широко используются в автоматического управления теории, теории связи. радиофизике, в распознавании образов.

М. И. Ядренко.