ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ

— математический раздел автоматического управления теории, исследующий свойства траекторий динамических систем, являющихся оптимальными по какому-нибудь критерию (быстродействию, минимальному весу, минимуму затрат и т. д.). О. у. т. возникла в середине на базе задач, изучаемых теорией автомат, регулирования, в основном задач, имеющих дело с управлением движущимися объектами. Задачи оптим. управления (о. возникают всюду, где человек может воздействовать на ход процесса. Так, при управлении автомобилем у водителя имеется, напр., руль для поворотов, переключатель скоростей, с помощью которых он может менять характер движения; в распоряжении пилота самолета и капитана корабля имеются средства, позволяющие им по своему

усмотрению менять процесс управления; управляющие «рычаги» в экономике совсем другие, но с точки зрения специалиста по О. у. т. это не имеет значения. На ход эконом, процессов можно воздействовать с помощью таких управлений, как цены, преимущественное развитие отдельных отраслей промышленности и т. п. При управлении каждым объектом управления ставится определенная задача. Так, напр., ракета должна вывести спутник на заданную высоту, экономика должна достигнуть определенного уровня, корабль должен прийти в порт назначения и т. д. И далеко не безразлично, какими средствами поставленная задача будет решена. На практике всегда имеется определенный критерий качества, характеризующий «цену», которую приходится платить за достижение цели.

Рассмотрение всех перечисленных выше конкретных задач приводит к следующей матем. постановке задачи оптим. управления. Задан объект, координаты которого описываются -мерным вектором . Коорд. объекта меняются во времени согласно системе дифф. ур-ний

где — ф-ции х и -мерного вектора управления и Вектор х, характеризующий положение объекта, наз. вектором фазовых координат. Если задано начальное состояние объекта и ф-ция управления и то при некоторых предположениях система (1) однозначно определяет траекторию объекта которая наз. фазовой траекторией. Как правило, на управление и наложены некоторые ограничения. В общем случав это то, что в каждый момент времени вектор и должен принадлежать некоторому мн-ву U, которое является подмн-вом -мерного простр. Пусть, кроме того, заданы начальная точка и конечная точка фазового простр. Рассмотрим все возможные управления и и моменты времени для всех такие, что траектория системы (1), соответствующая начальному положению и управлению и попадает в момент времени в точку Среди этих управлений требуется выбрать одно, для которого значение функционала

минимально. Управление и траекторию, являющиеся решением этой задачи, наз. соответственно оптимальным управлением и оптимальной траекторией. Поскольку точки являются фиксированными, сформулированная задача о. у - наз. задачей с фиксированными (закрепленными) концами.

Для того, чтобы поставленная задача имела матем. смысл, обычно делаются следующие предположения: ф-ции , непрерывны по совокупности и непрерывно дифференцируемы по х. Затем необходимо более четко оговорить класс допустимых управлений. Обычно это измеримые и ограниченные ф-ции и такие, что и для всех Часто рассматриваются классы кусочно-непрерывных или кусочно-постоянных ф-ций.

Сформулированная выше задача является задачей выбора программного управления, т. к. здесь управление выбирается как ф-ция времени. Задача эта наиболее изучена. Менее изучена задача синтеза оптим. управления, когда требуется выбрать управление как ф-цию фазовых коорд. и

В некоторых случаях физ. соображения заставляют выбирать такое управление, чтобы соответствующая ему фазовая траектория удовлетворяла некоторым ограничениям: напр., ей для всех , где D — некоторая область в -мерном простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), или вдоль траектории должно выполняться условие , где заданная ф-ция. Условия типа или носят название фазовых ограничений, а соответствующая задача — задачи оптим. управления с фазовыми ограничениями. Траектория системы (1), удовлетворяющая фазовым ограничениям, наз. траекторией допустимой. Изучение задач О. у. т. разбивается на три подобласти исследования. Во-первых, это построение необходимых и достаточных условий оптимальности, т. е. таких условий, которые возможно более точно характеризовали бы оптим. траекторию (см. Оптимальности необходимые условия). Во-вторых, решение задачи оптим. управления существует не всегда, и поэтому необходимо сформулировать некоторые достаточные условия, при которых можно гарантировать существование решения. Для задачи об оптим. быстродействии, т. е. для случая, когда в выражении можно привести следующие условия, гарантирующие существование решения: а) существует такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория проходит через точки мн-во , которое пробегает вектор когда вектор и пробегает мн-во U, выпукло; в) для некоторой константы С справедливо неравенство

Третья подобласть исследований в О. у. т. - разработка вычисл. методов для расчета оптим. управления. Уже разработаны достаточно эффективные алгоритмы решения широкого круга задач.

Один из подходов к решению задач О. у. т. дает теория программирования динамического. Применимость этого подхода в теор. плане ограничена, поскольку обычно не ясно, обладает ли

ф-ция, существование которой требуется при этом подходе, нужными свойствами. Однако в ряде задач этот подход дает полное решение и позволяет решить задачу синтеза оптим. управления. Подход теории динамического программирования к решению задачи оптим. управления основан на том факте, что отрезок каждой оптим. траектории также оптимален среди всех траекторий, соединяющих начальную и конечную точки отрезка. В частности, для задачи оптим. управления по быстродействию это приводит к следующему результату. Пусть точка в которую переводится объект, зафиксирована и решается семейство задач оптим. управления для различных начальных состояний х. При этом пусть оптим. время перехода из точки х в точку Тогда, если ф-ция непрерывно дифференцируема по х, то ф-ция удовлетворяет соотношению

Т. о., решение исходной задачи оптим. управления может быть сведено к решению некоторого нелинейного ур-ния в частных производных.

В последние годы О. у. т. находит применение в новых областях. Здесь в первую очередь следует отметить задачи управления объектами с дискретным временем и задачи управления объектами с распределенными параметрами. Объекты с дискретным временем характеризуются тем, что состояние объекта описывается только в фиксированные моменты времени и динамика объекта задается ур-нием где верхний индекс к означает момент времени. Теория управления объектами в дискретном времени хорошо разработана по сравнению с теорией управления объектами с распределенными параметрами, где поведение объектов описывается ур-ниями в частных производных (здесь получен лишь ряд отдельных результатов, но достаточно стройной теории не существует).

Лит.: Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., 1968 [библиогр. с. 443—472]: Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1969 [библиогр. с. 383—384]; Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М., 1969; Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. Пер. с англ. М., 1964. Б. Н. Пшеничный.