ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

— теорема, устанавливающая условия, при выполнении которых распределение вероятностей суммы большого числа независимых слагаемых близко к нормальному распределению. Имеется последовательность взаимно независимых случайных величин Пусть

где математические ожидания соответственно величин их дисперсии, ф-ция распределения нормированной и центрированной суммы . Говорят, что к последовательности применима Ц. п. т., если при любом имеет своим пределом при нормальную ф-цию распределения

Условия применимости Ц. п. т. особенно просты, если все величины последовательности имеют одну и ту же ф-цию распределения; в этом случае для выполнения Ц. п. т. достаточно, чтобы величины имели конечную дисперсию, отличную от нуля. В довольно общей форме Ц. п. т. доказал рус. математик А. М. Ляпунов. Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть , где если отношение стремится к нулю при то к последовательности применима Ц. п. т. Смысл условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы отдельные слагаемые оказывали лишь незначительное влияние на сумму

В приложениях Ц. п. т. важную роль играют оценки разности Если величины имеют одну и ту же ф-цию распределения (так что все и у них существуют конечные третьи моменты, то имеет место оценка

где постоянная. Как показал сов. математик В. М. Золотарев, для С имеет место оценка: . Ц. п. т. может быть перенесена на последовательность случайных векторов. См. также Вероятностей теория. Н. П. Слободеток.