ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ВЫБОР

— определение значений параметров, которые при существующих ограничениях обеспечивают наилучшие показатели качества системы. Задачи О. п. с. в. очень часто возникают при исследовании эконом., тех. и др. типов систем, в кибернетике — при проектировании систем автоматического управления (САУ).

В САУ (рис.) О. п. с. в. тесно связан с задачей синтеза оптим. управляющего устройства УУ. На основе поступающей на него информации о задании у, о выходной величине у объекта управления О У и, возможно, о помехе z УУ вырабатывает и подает на ОУ управляющие воздействия и.

ОУ характеризуется зависимостью его выходной величины у от входных величин :

В общем случае , и являются векторами, a f представляет собой некоторый оператор, который может быть задан системой алгебр., дифференциальных или интегр. уравнений. Информация от может поступать в по каналам с шумами (напр., погрешности измерений). Обозначим через х вектор с компонентами , а через вектор, компонентами которого являются измеренные значения величин . Цель оптим. управления состоит в достижении экстремума некоторой величины J — критерия оптимальности. J в САУ обычно представляет собой функционал, зависящей от х и и. Критерий оптимальности может служить оценкой качества переходного или установившегося процесса в САУ и отражать тех. или эконом, показатели системы. В задаче выбора параметров управление формируется в виде:

где — оператор УУ заданной структуры; — вектор подлежащих определению параметров оператора ф. В результате критерий оптимальности J становится ф-цией многих переменных и в общем случае может быть представлен в виде условного математического ожидания.

где — функционал вектора параметров с и вектора х, плотность

пределения которого может зависеть от вектора с и равна пространство векторов х. В детерминированном случае .

Ограничения при таком подходе сводятся к ограничениям, которые должны быть наложены на компоненты вектора с. Они выражаются в виде равенств

и неравенств

Структурная схема системы автоматического управления.

Используя выражения (3) — (5), задачу О. п. с. в. в общем виде можно сформулировать следующим образом: определить оптим. вектор параметров с который при ограничениях (4) — (5) доставляет экстремум ф-дии . Рассмотрим сначала случай, когда ограничения 2-го рода отсутствуют (ограничения 1-го рода могут быть исключены путем подстановки в функционал). Если ф-ция допускает дифференцирование, то она достигает экстремума при таких значениях с для которых ее градиент

Векторы с, удовлетворяющие условию стационарными, или особыми. Условие (6) является необходимым условием оптимальности. Достаточные условия экстремума имеют вид неравенств относительно определителей, содержащих частные производные 2-го порядка функционала J по всем компонентам вектора с. Решить аналитическим путем нелинейное уравнение (6) для нахождения значений с в точках экстремума почти всегда невозможно (за исключением элементарных случаев). В связи с этим широкое развитие и применение получили алгоритм, методы — метод Гаусса — Зайделя, метод градиента, наискорейшего спуска и др. (см. Оптимизации методы численные). Напр., алгоритм оптимизации по методу градиента при нахождении минимума функционала может быть представлен следующим рекуррентным уравнением:

где — скаляр; — номер шага.

Большая часть существующих алгоритм, методов предназначена для отыскания экстремумов локальных. Нахождение экстремума глобального является сложной и в общем случае еще не решенной задачей. Учет ограничений типа равенств (4) заключается в использовании метода множителей Лагранжа. Введем функционал

где — пока неизвестный вектор множителей Лагранжа, Т — знак транспонирования, вектор-функция. Тогда отыскание минимума функционала при ограничениях (4) сводится к нахождению решений следующей системы уравнений:

где

матрица размера

При наличии ограничений типа неравенств (5) для решения задачи О. п. с. в. необходимо использовать методы программирования математического.

Лит.: Фельдбаум А. А. Электрические системы автоматического регулирования. М., 1957; Красовский А. А. Интегральные оценки и критерии качества регулирования. В кн.: Теория автоматического регулирования, т. 1. М., 1967; Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах, М., 1968 [библиогр. с. 347—381]. Д. В. Карачепец.