СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Значения параметра X, при которых существуют отличные от тождественного нуля решения ур-ния

удовлетворяющие в некоторых точках дополнительным условиям

наз. собственными числами а соответствующие решения и ур-ния (1) с условием (2) — собственными ф-циями Здесь дифф. выражения. Ур-ние (1) с условиями (2) образует задачу на собственные значения (з. с. з.). Напр., задача

имеет собственные числа и собственные ф-цив соответственно

Задачи на собственные значения точно решены лишь для очень немногих случаев. Для их приближенного решения применяются различные приближенные методы, основные из них рассмотрены ниже.

Метод конечных разностей, или метод сеток, состоит в том, что область непрерывного изменения переменного х заменяется конечным мн-вом точек или узлов (сеткой). Дифф. соотношения в узлах сетки заменяют разностными и вместо задачи решают соответствующую алгебр, задачу (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы вычисления). Напр. отрезок [0,1] разбивают на N равных частей длины точками деления и вместо задачи (3) решают алгебр, задачу

решения которой являются приближениями к первым собственным числам и собственным ф-циям задачи (3). Точность обычного метода сеток характеризуется неравенствами

где постоянные. Иногда применяется метод сеток повышенной точности. Особенно эффективен этот метод для ур-ния

с кусочно-непрерывными коэффициентами . При этом получают алгебр, задачу с трехдиагональной матрицей. В этом случае удается построить трехточечные разностные схемы любого порядка точности, т. е. справедливы оценки

где m — любое целое число.

Если для заданной задачи на собственные значения можно указать близкую к ней в некотором смысле другую задачу на собственное значение, решение которой известно, то можно использовать метод возмущений. Для этого вводят параметр возмущения и рассматривают задачу

такую, что при имеем близкую задачу

а при исходную задачу. Собственную ф-цию и собственное число (6) ищут в виде

Подставив выражение (8) в ур-ние (6) и приравняв коэфф. при одинаковых степенях , получают после некоторых преобразований рекуррентные соотношения для коэффициентов Зная с. задачи (7), находят и , а затем, используя значения получают и т. д. Ограничившись в ур-ниях (8) конечным числом членов, получают приближенные с.

Методом коллокаций с. ф. находят в виде

где ф-ции удовлетворяют условию (2). Удовлетворяя ур-нию (1) в равномерно распределенных точках, для определения параметров получают систему однородных ур-ний. Приближенные значения собственных чисел находят как нули определителя этой системы.

Метод рядов состоит в представлении с. ф. в виде

Подставив (10) в (1) и учитывая разложение в ряд по ф-ций получают бесконечную однородную систему линейных ур-ний относительно которую при решении берут конечной. Первые к приближенных чисел являются нулями определителя усеченной системы порядка. Задачи на собственные значения можно рассматривать как нелинейные, поэтому к ним можно применить некоторые методы решения нелинейных ур-ний (см. Операторных уравнений способы решения). Напр., при решении задачи на собственные значения для систем обыкновенных дифф. ур-ний

при дополнительных условиях

где матрицы, поступают следующим образом. Т. к. собственные ф-ции определяются с точностью до постоянного множителя, то добавляют еще условие, фиксирующее этот множитель. Пусть оно имеет вид

где компонента вектора Вместе с тем задача содержит на одно условие больше, чем необходимо для определенности задачи при любом фиксированном X. Значит, задачу (11) — (13) можно решать без учета одного из условий (12). Полученное решение подставляют во все условия (12) и по величине результата судят о близости выбранного X к с. ч. Задав приближение X к с. решают краевую задачу

где (15) образуется из (12), если убрать уравнение. Затем проводят, напр., итерации по методу Ньютона в виде

где

— норма в эвклидовом пространстве (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе).

Кроме указанных, можно использовать и некоторые другие методы (См. Собственных значений дифференциальных уравнений в частных производных способы вычислений).

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А. Разностная задача Штурма—Лиувилля. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1961, т. 1, № 5; Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ, ч. 2. К., 1966 [библиогр. с. 241—243]; Приказчиков В. Г. Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи Штурма — Лиувилля. «Жутрнал вычислительной математики и математической физики», 1969, т. 9, № 2; Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Пер. с нем. М., 1968 [библиогр. с. 501 — 503]. В. Г. Приказчиков.