УРАВНЕНИЙ КЛАССИФИКАЦИЯ.

Уравнение — это запись задачи поиска таких элементов х некоторого мн-ва X, что

где F — оператор (математический), т. е. заданное отображение мн-ва X на мн-во У, у — фиксированный элемент мн-ва У. Ур-ние общего вида (1) наз. операторным. В зависимости от того, линеен или нелинеен оператор F, ур-ние (1) наз. соответственно линейным или нелинейным. Если X и У—мн-ва чисел, то ур-ние (1) в зависимости от характера ф-ции F обращается в алгебраическое или трансцендентное. Ф-ция алгебраической, если она удовлетворяет ур-нию вида

где многочлены от х. Ф-ции, не удовлетворяющие ур-нию трансцендентными, напр., (где а — иррациональный показатель), тригонометрические ф-ции. Соответственно, ур-ние (1) наз. алгебраическим, если F — алгебр. ф-ция, в противном случае это ур-ние наз. трансцендентным. Если X и У — мн-ва чисел в многомерных пространствах (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), то получается система ур-ний. Если X и У мн-ва фтций, то в зависимости от характера отображения F получаются дифф. или интегральные уравнения (см. также Дифференциальных линейных уравнений с частными производными классификация). Если где то ур-ние (1) наз. обыкновенным дифференциальным ур-нием -го порядка. Если оператор F включает одновременно операции дифференцирования и интегрирования, ур-ние наз. интегродифференциальным.

Операторные ур-ния бывают в основном трех типов:

(, ищется неподвижная точка оператора Т);

( нулевой элемент пространства образов);

( — вещественное или комплексное число, ; это задача о собственных значениях, т. е. задача отыскания таких X, при которых ур-ние (5) имеет ненулевое решение). Здесь искомая величина и — элемент данного линейного пространства В, Т и S — заданные линейные или нелинейные операторы. Ур-ние (4) является наиболее общим; ур-ния (3), (5) — его частные случаи. Действительно, если Е — тождественный оператор, то ур-ние (3) при принимает вид (4). Введем для ур-ния (5) условие нормировки где G — заданный функционал, такой, что Рассмотрим пару элементов v и а (обозначается ), где , а — вещественное или комплексное число, как элемент нового

пространства определив сложение и умножение на скаляр так же, как для числовых пар. Определим преобразование элементов (1) ф-лой Если - нулевой элемент пространства то ур-ние равносильно ур-нию (5) и имеет вид (4). М. Д. Бабич.