МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД
—
численный метод, основанный на воспроизведении большого числа реализаций случайного процесса, специально построенного по условиям задачи. Этот
случайный процесс формируется т. о., чтобы его вероятностные характеристики (
вероятности некоторых событий,
математические ожидания случайных величин, вероятности попадания траекторий процесса в заданную область
фазового пространства и т. д.) были равны искомым величинам рассматриваемой задачи.
Сущность
можно пояснить на следующем примере- Пусть требуется вычислить значение
где
— для всех х, удовлетворяющих условию
Предположим, что в нашем распоряжении имеется достаточно обширная совокупность независимых случайных чисел
получаемых в результате некоторого случайного эксперимента), являющихся возможными значениями случайной величины которая распределена равномерно в интервале (0,1). Очевидно, что пары случайных чисел
можно интерпретировать как случайные точки, равномерно распределенные в единичном квадрате. Последнее означает, что вероятность попадания случайной точки
в некоторую область Q, принадлежащую единичному квадрату, пропорциональна площади области
и не зависит от расположения ее в единичном квадрате. Для любой пары
можно проверить справедливость неравенства
Если это неравенство выполнено, точка
лежит на кривой
или ниже ее (событие А), в противном случае — точка
располагается выше кривой
(событие А). Проведем N испытаний, состоящих в выборе пар
и проверке неравенств вида (2).
Пусть число точек, для которых это неравенство
выполнено, равно
. Тогда отношение
является частотой наступления события
Известно, в силу больших чисел закона, что частота некоторого события при достаточно больших N весьма близка к вероятности этого события. В рассматриваемом случае вероятность Р (А) представляет собой долю площади единичного квадрата, приходящуюся на ту его часть, которая расположена под кривой
и поэтому равна искомому значению интеграла (1). Т. о., частоту
можно принять в качестве приближенного значения интеграла К рассматриваемой задаче возможен и другой подход. Пусть
ф-ция плотности вероятностей некоторой случайной величины
в интервале
совпадающем с областью интегрирования. Тогда выражение
представляет собой матем. ожидание ф-ции
Как известно, в качестве приближенного значения для величины матем. ожидания может быть принято среднее арифметическое
если N достаточно велико. В выражении
независимые случайные числа, являющиеся возможными значениями случайной величины
с законом распределения
Представление о точности
и требуемом числе реализаций N можно получить из следующих рассуждений. Пусть речь идет о вычислении значения h — интеграла h в соответствии с рассматриваемой выше процедурой. Значение
имеет точность
и достоверность а, если вероятность
В силу теоремы А. Я. Хинчина частота
при достаточно больших N имеет распределение, близкое к нормальному, поэтому
где, в нашем случае,
и, по таблицам нормального распределения, для
для
и т. д. Отсюда число реализаций N, необходимое для вычисления
с точностью
и достоверностью а, равно
Вследствие сравнительно большого числа реализаций, необходимого для вычисления результата с достаточной точностью и достоверностью, широкое практическое применение
получил в связи с использованием цифровых вычислительных машин (ЦВМ), где вырабатываются случайные числа, являющиеся исходным материалом для реализации
Общая схема применения
состоит в построении и запоминании возможных значений некоторой случайной величины
зависящей от траекторий случайного процесса. Среднее значение этой величины, полученное в результате осуществления достаточно большого числа реализаций процесса, и оказывается искомым решением соответствующей задачи.
М.-К. м., несмотря на его универсальность, имеет специфическую область приложения. В первую очередь к ней относятся различные многомерные задачи. Объем вычислений для обычных численных методов возрастает при увеличении размерности задачи приблизительно, как показательная ф-ция размерности, а для
лишь как линейная ф-ция размерности. Эту закономерность легко проиллюстрировать на примере вычисления многократных интегралов. Если число операций ЦВМ, необходимое для вычисления
-кратного интеграла
при к
в два раза меньше, чем для кубатурных формул, то при
оно уже в двести раз меньше, а при
раз. Кроме того, к области приложений относятся также задачи, требующие достаточно полного учета существенно влияющих случайных факторов.
В настоящее время
реализуемыми на ЦВМ, решаются многие практические задачи. Помимо вычисления кратных интегралов, необходимо упомянуть решения систем алгебраических ур-ний высокого порядка, обращение матриц, отыскание характеристических чисел и собственных ф-ций интегральных ур-ний, вычисление континуальных интегралов и т. д.
Большое теоретическое и практическое значение получили исследования
процессов проникновения частиц через вещество, передачи сообщений, массового обслуживания, кинетики химических реакций, а также процессов функционирования сложных систем, к которым относятся разнообразные производственные и информационные системы, автоматизированные системы управления, некоторые экономические и биологические системы и др.
При решении задач
без ЦВМ источниками случайных чисел служили различные эксперименты (бросание монеты, извлечение карт из тщательно перетасованной колоды, верчение рулетки и т. д.). С именем города в княжестве Монако, известного своими игорными домами, и связано происхождение названия
Лит.: Бусленко Н. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (Мовте-Карло) и его реализация на цифровых вычислительных машинах. М., 1961 [библиогр. с. 224—226]; Бусленко Н. П.
[и др.]. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло). М., 1962 [библиогр. с. 213—327]; Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.. 1968 [библиогр. с. 353—355].
Н. П. Бусленко.