ПРЕДИКАТИВНОСТЬ

— особенность, связанная со способами определения множеств в множеств теории. Пусть множество М определяется как совокупность всех элементов х, удовлетворяющих условию Если при этом формулировка условия такова, что для ее понимания требуется привлечь класс множеств G, такой, что М е С, то говорят, что определение множества М непредикативно. Непредикативные определения часто встречаются в обычных формулировках теории множеств (напр., в системе ZF Цермело—Френкеля), где в условиях фигурируют неограниченные кванторы по всем множествам и в качестве G можно взять универсуум всех множеств.

Давно замечено, что все парадоксы теории множеств содержат непредикативные определения, и это может служить основанием для того, чтобы считать именно непредикативные определения причиной парадоксов. Простейший способ ограничения непредикативности осуществляется в простой теории типов Уайтхеда и Рассела, где все множества делятся на типы и само множество имеет более высокий тип, чем его элементы. Но при этом определяющие условия все же могут содержать кванторы того же типа, что и тип х, и даже более высоких типов. Более радикально непредикативность устраняется в разветвленной теории типов, фрагментом которой является т. н. предикативный анализ. В этих теориях каждое множество х определяется уже в строгом смысле предикативно. К сожалению, предикативные теории накладывают заметные ограничения на свободу обращения с множествами и поэтому развитие в рамках этих теорий содержательной математики затруднительно. С другой стороны, для предикативных теорий часто можно построить конструктивное доказательство их непротиворечивости. Лит.. Кигни С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М.,1973 [библиогр. 451-465]; Fraenkel А. А., ВarHi11е1 Y. Foundations of set theory. Amsterdam, 1958. А. Г. Драгалин.