ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ МЕТОД

— приближенный метод определения моментов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по заданным характеристикам случайных параметров, входящих в уравнения; заключается в обработке результатов многократного интегрирования исходных уравнений при различных, определенным образом выбранных неслучайных начальных условиях и неслучайных эквивалентных возмущениях. Э. в. м. применяют для исследования точности функционирования динамических систем при случайных возмущениях. Пусть динамическая система описывается системой обыкновенных дифф. ур-ний

удовлетворяющих условиям существования и единственности в области где неслучайные ф-ции, случайные параметры, искомые случайные ф-ции. Предполагается, что для параметров заданы матем. ожидания, равные нулю, и моменты связи до порядка включительно

а решение системы (1) может быть разложено в ряд Маклорена по параметрам

Пусть решение системы (1) имеет вид

Тогда, разлагая (4) в ряд Маклорена степени по величинам и воздействуя на обе части этого разложения оператором матем. ожидания с учетом (3), получим

где . Для вычисления матем. ожидания координат реальных систем, использовать непосредственно формулу (5) практически невозможно, т. к. для этого нужно располагать, значениями производных, входящих под знак сумм. Поэтому сумму (5) вычисляют иным путем: в разложении решения (4) в ряд Маклорена вместо подставляются некоторые их частные значения

Всего берется N различных комбинаций параметров чему соответствует N равенств. Затем вводятся неопределенные коэффициенты на которые умножаются правые и левые части этих равенств, после чего они почленно складываются. В результате получается соотношение

Из сопоставления (5) и (6) следует, что сумма S будет представлять собой приближенное значение матем. ожидания переменной

если величины удовлетворяют системе алгебр, ур-ний

Величины входящие в (7), представляют собой результат интегрирования системы (1) при конкретных

Чтобы алгебр, система (8) была совместной, необходимо количество пробных комбинаций N принять равным ур-ний системы Найдя из системы (8), можно определить не только матем. ожидание, но и центральные моменты произвольного порядка

где степень решения системы (1).

Аналогично могут быть найдены любые моменты связи для ф-ций Так, вапример, момент связи

определяется по формуле

где представляют собой решения системы (1), полученные при частных значениях параметров равных

Э. в. м. связан с выполнением простых, но весьма громоздких вычислений и, как правило, реализуется с помощью ЦВМ.

Лит.: Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М., 1962 [библиогр. с. 325—328].

В. Г. Гршиутип, А. М. Плашенко.