ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛОВ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
Интеграл Фурье (и. Ф.) функции 
принадлежащей пространствам 
или 
Пространство абстрактное в функциональном анализе), имеет вид
И.Ф. широко используется в автоматического управления теории, в теории дифф. ур-ний, в спектральном анализе, распознавании образов, при анализе речевых сигналов и т. д. Рассмотрим некоторые способы вычисления 
в зависимости от гладкости подынтегральной ф-ции.
1. 
- непрерывная ф-ция, приближенно равная нулю вне отрезка 
и заданная табл. своих значений в точках 
. Тогда
Если 
и погрешности, с которыми задается ф-ция в точках 
взаимно независимы и распределены равновероятно на отрезке 
, то справедлива следующая оценка полной погрешности А (см. Погрешностей вычислений теория) приведенного алгоритма:
где модуль непрерывности 
— число двоичных цифр в мантиссах чисел для ЦВМ с плавающей запятой,
- к-во арифм. операций для вычисления 
— округления погрешность при вычислении 
. Для вычисления 
применяют алгоритм быстрого преобразования Фурье. Отличительной особенностью этого алгоритма является высокая эффективность по сравнению с известными до сих пор алгоритмами. Он основывается на возможности вычисления коэфф. 
итерационным методом, что приводит к значительной экономии вычислительного (машинного) времени. Напр., при 
требуемое время сокращается прибл. в 100 раз. С ростом 
преимущество быстрого преобразования. Фурье становится еще более ощутимым. Быстрое преобразование Фурье можно с успехом применять и для вычисления интегралов типа свертки, автокорреляционной функции, двумерного преобразования Фурье и т. д.
2. Увеличение степени гладкости 
не ведет к существенному увеличению точности 
и поэтому может оказаться более целесообразным следующий способ, который изложен для прибл. вычисления обратного Фурье преобразования. Пусть 
достаточно гладкая ф-ция, заданная на оси и обращающаяся в нуль на бесконечности. Сделаем замену 
и положим
Аппроксимируем 
многочленом интерполяции 
где
тогда
Для вычисления коэфф. 
целесообразно 
-менять алгоритм быстрого преобразования Фурье. При этом нужно учитывать, что если 
вещественна, то 
вещественны. Положим
Тогда имеет место следующее соотношение:
где 
— многочлены Лягерра, ортогональные на полуоси 
с весом 
Справедлива оценка 
, где 
погрешность метода в метрике 
граница единичной окружности, 
величина наилучшего приближения 
многочленами вида 
метрике Чебышева 
Аппроксимация функций равномерная 
).
Если 
имеет ограниченную 
то
Для того, чтобы получить аналогичную оценку в пространстве 
введем ф-цию 
и построим и 
Положим 
Тогда
Справедлива оценка абсолютной погрешности метода в метрике 
Если 
имеет 
то
Коэффициенты 
действительны, что дает возможность существенно упростить программы вычисления их. В более общем случае, когда в окрестности бесконечности
следует 
применить к 
. В результате получают:
где 
дельта-функция, 
— коэфф. интерполяционного многочлена для 
В случае, когда подынтегральная ф-ция принадлежит 
гильбертовому пространству 
комплекснозначных ф-ций 
отличающихся более чем на константу, 
производные которых (в обобщенном смысле) квадратично интегрируемы, со скалярным произведением
построен функционал
где
, который является оптимальной (в смысле минимизации погрешности метода) аппроксимацией функционала
в пространстве линейных функционалов вида
При вычислении функционала 
целесообразно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье.
Лит.: Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. К., 1968 [библиогр. с. 281—285]; Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 354—358]. В. К. Задирака.
