ТОПОЛОГИЯ

— раздел математики, изучающий Топологические пространства и их непрерывные отображения.

Первым топологическим результатом была теорема Л. Эйлера (1707—83) о многогранниках. Осн. идеи алгебраической топологии высказали нем. математик Г.Ф. Риман (1826— 66) и франц. математик А. Пуанкаре (1854 — 1912). Цикл статей А. Пуанкаре явился началом бурного развития Т. В 20-х гг. 20 ст. была построена общая система осн. понятий Т., имеющая важное значение для алгебры, функционального анализа, теории ф-ций и т. д. В настоящее время идеи Т. широко применяют в алгебр, геометрии, теории чисел, ур-ниях в частных производных, геометрии, они проникают в физику (квантовая электродинамика), а отдельные понятия вошли в обиход кибернетики (многообразия, графы, симплициальная техника). Существенный вклад в развитие Т. внесли сов. математики П. С. Александров (р. 1896), П. С. Урысон (1898—1924), Л. С. Понтрягин (р. 1908) и др.

Топологическое пространство — система, состоящая из множества X (элементы которого наз. точками) и заданного семейства J подмножеств X, обладающего следующими свойствами: 1) если , то если I конечно и то . Эти свойства воспроизводят свойства открытых мн-в евклидова пространства (множеств, содержащих вместе с каждой точкой х некоторый шар с центром х); поэтому открытыми мн-вами X. Если А с и любое открытое мн-во, содержащее х, содержит точки А, отличные от х, то предельной точкой А. Т. о., топологическая структура X позволяет определить осн. понятия анализа на X, напр., сходимость последовательностей в X. На практике топологическую структуру задают с помощью некоторой базы окрестностей — семейства подмножеств X такого, что 1) любая точка принадлежит некоторому подмножеству и 2) для любых и любой точки существует множество содержащее х и содержащееся в Всевозможные объединения окрестностей базы обладают свойствами открытых мн-в и задают на .

Примером могут служить открытые шары (т. е. шары без границ) в евклидовом пространстве, образующие в нем базу открытых Естественное обобщение представляет метрическое пространство, т. е. множество X с заданной на нем действительной ф-цией пары точек обладающей свойствами расстояния: при Шары метрического пространства суть мн-ва со всевозможными они составляют базу окрестностей, задающую Т. на X. В ряде важных случаев Т. может быть задана с помощью некоторой естёственной метрики на X, в других — такая метрика существует, но «метризация» топологического пространства неестественна, поэтому предпочитают задавать Т. окрестностями надлежащего вида. Наконец, в некоторых вопросах (напр., в теории обобщенных ф-ций) встречаются не метризуемые топологические пространства. Т. о., метрика не является достаточно универсальным средством задания «близости» точек, и понятие топологического пространства к ней не сводится. Дополнение открытого множества замкнутым мн-вом в X.

Пусть подмн-во топологического пространства X. Пересечения А с открытыми мн-вами X образуют семейство удовлетворяющее перечисленным выше условиям 1) — 4); принимая их за открытые мн-ва, получаем Т. на А. Эта Т. наз. индуцированной из X.

Непрерывным отображением наз. такое отображение У топологического пространства X в топологическое пространство У, для которого прообразы всех открытых мн-в У суть открытые мн-ва X.

В случае, когда X и У — евклидовы пространства, это условие равносильно обычному определению непрерывности следует такая форма наиболее удобна для его обобщения. Для каждого топологического пространства X тождественное отображение непрерывно; если непрерывные отображения, то непрерывное отображение X в Z. Если биективно (см. Множеств теория), то существует обратное отображение но не обязательно непрерывно; если также непрерывно, гомеоморфизмом, а топологические пространства X, У — гомеоморфными. С точки зрения Т., гомеоморфные пространства не различаются (если только в Т. не вводят добавочных структур).

Способы построения топог логических пространств. Простейший способ состоит в построении суммы топологических пространств X, У. Для этого на множестве в качестве открытых множеств рассматривают объединения всех открытых и всех открытых мн-в У. Полученное топологическое пространство состоит из двух «отдельных кусков» X, У. Второй способ состоит в рассмотрении произведения . Если X, У — топологические пространства, то требуется, чтобы при надлежащей Т. на отображения-проекции произведения на сомножители X, У были непрерывны. Тогда для всех открытых G CZ X мн-ва на G») должны быть открытыми в аналогично для ). Пересечения этих цилиндров в любом конечном числе принимаются за базу окрестностей на X X У, чем и задается Т. с этой Т. ваз. произведением топологических пространств X, У. Третий способ: пусть — сюрьективно и X — топологическое пространство. Будем искать такую Т. на У, чтобы было непрерывно; тогда для всех открытых прообразы открыты в X. Введем на У Т., приняв за открытые мн-ва все мн-ва с открытыми прообразами. Полученное топологическое пространство наз. факторпространством топологического пространства X относительно отождествления ф. Факторпространства можно построить следующим способом. Пусть дано разбиение X на непересекающиеся замкнутые мн-ва . Пусть У — мн-во всех и отображение ставит в соответствие точке то мн-во которое содержит х. Тогда соответствующая фактортопология возникает на У и может быть наглядно истолкована как «склеивание» точек каждого в одну точку. Четвертый способ: пусть — топологические пространства. Для открытого прообраз часто бывает гомеоморфен произведению , где Z — топологическое пространство, причем гомеоморфизм переводит каждое подмножество в Тогда расслоением; прообразы гомеоморфные одному и тому же топологическому пространству слоями этого расслоения, У — его базой, пространством расслоения, или расслоенным пространством.

Примеры топологических пространств. Первый пример: пусть окружность; произведение есть топологическое пространство, называемое тором. Второй пример: отождествление диаметрально противоположных точек на сфере приводит к проективной плоскости; то же топологическое пространство можно получить, отождествляя диаметрально противопо; ложные точки границы круга. Третий пример: пусть S — сфера с ее обычной Т., X — множество всех касательных векторов к S длины 1. Отображение ставит в соответствие каждому вектору его начальную точку. Нетрудно ввести на X Т. т. о., чтобы стало непрерывным; в полученном расслоении X базой является S, а слои гомеоморфны окружности. Четвертый пример: непрерывные ф-ции на отрезке [0, 1] образуют топологическое пространство, Т. которого порождается метрикой

Важнейшие классы топологических пространств. Говорят, что в топологическом пространстве X мн-ва А, В отделимы, если существуют такие открытые мн-ва что Обычно рассматривают топологические пространства, «правильное» устройство которых гарантировано аксиомами отделимости. Напр., если любые две отделимы, хаусдорфовым пространством. Если в хаусдорфовом пространстве X любые два непересекающихся замкнутых мн-ва отделимы, нормальным. Многие пространства обладают счетной базой окрестностей; напр., на плоскости круги рационального радиуса с центрами в точках с рациональными координатами образуют счетное семейство открытых всевозможные объединения которых составляют все открытые мн-ва. Топологическое пространство, не представив мое в виде суммы непустых топологических пространств, наз. связным. Топологическое пространство наз. компактным, если из каждого семейства открытых покрывающего X, можно выбрать конечное подсемейство, также покрывающее X. Этот класс топологических пространств, свойства которых аналогично известному свойству замкнутого интервала, ввели под названием бикомпактных пространств П. С. Александров и П. С. Урысон. На компактном пространстве непрерывная ф-ция ограничена и достигает минимума и максимума. Пусть любое семейство топологических

пространств. На произведении П X, можно ввести естественную Т., при которой все проекции в X, непрерывны; тогда, если компактны, произведение также компактно (теорема А. Н. Тихонова).

Лит.: . И. А. Шведов.