ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
— преобразования, определяемые соотношениями
и
где 
— действительные переменные, 
Эти соотношения наз. соответственно прямым и обратным Ф. п. и обозначаются иногда так: 
Часто множитель 
в (1) заменяют единицей, при этом множитель 
в (2) заменяют на 
наоборот). Соотношение (2) равносильно формуле Фурье
которая 
если, напр., 
удовлетворяет условиям Дирихле во всяком конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке 
При этом, если 
имеет разрывы непрерывности в точках 
то (3) при 
дает значение 
Ф-цию 
часто наз. спектральной плотностью (или просто спектром) 
. Представим 
в виде 
, где 
, тогда 
амплитудным, а 
фазовым спектром 
Предположим, что 
при 
тогда
и
Соотношение 
односторонним Ф. п., в отличие от двухсторонних Ф. п., определяемых (1), (2) и (5).
Интегральную 
Фурье (3) можно еще представить в виде
или
где 
Если 
четная ф-ция, то (6) принимает вид
для нечетной функции
Формула 
косинус-формулой, а 
- формулой Фурье.
Ф. п. применяют при решении задач мат. физики, решений уравнений в частных производных, интегральных уравнений, в электро- и радиотехнике, в автоматического управления теории и при решении др. задач.
Лит.: Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Пер. с англ. М.-Л., 1948; Левин В. И. Ряды и интегралы Фурье, элементы операционного исчисления. М., 1948; Диткин В. А., Пруд ников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961 Гбиблиогр. с. 508— 520 j; Харкевич А. А. Спектры и анализ. М., 1962 [библиогр. с. 235—236]. Ю. В. Кремеитуло.
