СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

— раздел автоматического управления теории, изучающий влияние случайных возмущений на динамику систем автоматического управления (САУ). В реальных условиях на работу САУ, кроме полезных входных сигналов, определенное влияние оказывают и случайные возмущения (помехи). В связи с этим величины выходных координат системы всегда отличаются от расчетных значений, найденных для идеализированных условий работы САУ, т. е. реальная динамика САУ за счет влияния случайных возмущений отличается от расчетной. По отношению к исследуемой системе случайные возмущения можно подразделить на внешние и внутренние. Внеш. случайные возмущения искажают полезные входные сигналы (входные координаты) и иногда могут быть настолько значительными, что непосредственное использование сигнала вместе с помехой в САУ оказывается невозможным. В этих случаях прибегают к предварительной фильтрации входного сигнала с целью уменьшения влияния помех. К внешним возмущениям относятся и случайные отклонения параметров, характеризующих условия работы системы (колебания т-ры и влажности окружающей среды, случайные изменения напряжения питания и т. п.). Источники внутр. случайных возмущений заложены в самих САУ (случайные шумы в радиодеталях, отклонения конструктивных параметров САУ от расчетных значений и др.). Исследование САУ в условиях воздействия случайных возмущений осуществляется теоретико-вероятностными, или статистическими, методами.

Основными задачами С. а. у. с. д. являются статистический анализ точности работы САУ, а также систем автоматического управления синтез, обеспечивающий статистически оптим. поведение системы в реальных условиях ее работы. Динамика САУ описывается совокупностью дифф. уравнений вида

где выходные параметры; входные параметры САУ. Часть входных параметров может представлять собой случайные возмущения. В более общем случае связь между входными и выходными параметрами САУ, кроме дифф. уравнений, может быть описана и конечными функциональными зависимостями или конечноразностными уравнениями. Однако, каково бы ни было матем. описание этой связи, ее можно представить в виде

где некоторый функционал (оператор).

В матем. отношении статистический анализ точности САУ сводится к задаче нахождения законов распределения вероятностей (или других статистических характеристик) некоторых случайных ф-ций, связанных с другими (заданными) случайными ф-циями линейными или нелинейными зависимостями. Эта задача наиболее полно решена для линейных систем, причем во многих случаях вместо законов распределения выходных параметров САУ вычисляют их статистические моменты 1 и 2-го порядков. В связи с этим широкое распространение получила теория линейных преобразований случайных ф-ций, использующая следующие фундаментальные матем. соотношения:

где X — заданная случайная ф-ция; Y — преобразованная случайная ф-ция; линейный оператор преобразования; соответственно математическое ожидание и корреляционная функция заданной случайной ф-ции; матем. ожидание и корреляционная ф-ция преобразованной случайной ф-ции; сопряженный оператор. Из приведенных выражений следует, что при линейном преобразовании случайной ф-ции с помощью оператора ее матем. ожидание преобразуется точно так же, как и сама ф-ция. Корреляционная же ф-ция подвергается двукратному линейному преобразованию — сначала по отношению к своему первому аргументу при помощи оператора а затем по отношению ко второму аргументу при помощи сопряженного оператора Формулы легко распространяются на произвольное число входных случайных ф-ций. Решение задачи статистического анализа линейных систем значительно упрощается при использовании вместо случайной ф-ции ее канонического представления. Сущность этого представления заключается в замене случайной ф-ции системой случайных величин являющихся коэффициентами при неслучайных (т. н. координатных) ф-циях Теория линейных преобразований случайных ф-ций приближенно применима и к таким нелинейным системам, в которых нелинейные зависимости могут быть линеаризованы с достаточной точностью.

Сложнее решаются задачи статистического анализа существенно нелинейных систем (имеется в виду нелинейная зависимость выходного параметра САУ от входных случайных возмущений). В ряде случаев САУ, линейная по отношению к полезному входному сигналу и некоторым параметрам, в целом может оказаться нелинейной. Напр., в простейшей САУ, описываемой дифф. уравнением вида

существует нелинейная зависимость выходной координаты Y от постоянной времени Т. Поэтому, если параметр Т может случайно изменяться в каких-либо пределах, то задача определения влияния этих изменений на динамику САУ оказывается нелинейной. Решение задач С. а. у. с. д. для динамических нелинейных систем принципиально возможно лишь на. основе теории, оперирующей законами распределения случайных ф-ций или последовательностями их моментов. Сравнительно несложными оказываются задачи определения вероятностных характеристик выходных параметров (координат) нелинейных безынерционных систем без обратных связей. Такие задачи возникают, в частности, при статистическом анализе процесса детектирования сигналов при наличии помех. Они получили значительное развитие в статистической радиотехнике.

В общем случае, когда в САУ имеются обратные связи или инерционные элементы (или то и другое), могут ставиться различные задачи статистического анализа САУ в зависимости от способа задания входных возмущений и формы представления выходных координат системы.

Входные возмущения могут быть заданы, во-первых, в виде множества реализаций случайных ф-ций X или случайных параметров V, во-вторых в виде законов распределения входных случайных ф-ций или параметров и, в-третьих, в виде моментов связи входных случайных ф-ций или моментов связи входных случайных параметров. Для выходных координат САУ искомыми могут быть также либо множества реализаций величин У, либо законы распределения этих координат, либо, наконец, их отдельные моменты . В табл. приведены осн. варианты задач статистического анализа нелинейных систем.

Для решения задач статистического анализа нелинейных САУ разработан ряд методов, сводящихся в основном к трем принципиально различным группам. Во-первых, широкое распространение получили разнообразные варианты Монте-Карло метода, сущность которого сводится к непосредственному вводу случайных возмущений на входы исследуемой САУ или ее модели, реализованной на ЭВМ. В результате многократного ввода реализаций входных случайных возмущений удается получить совокупность (ансамбль) выходных координат САУ. Подвергая далее эту совокупность статистической обработке, получают законы распределения выходных координат САУ или их статистические характеристики. Для воспроизведения и ввода входных возмущений наряду с использованием записей их реализаций применяется физ. или матем. моделирование случайных ф-ций и параметров. Метод статистических испытаний универсален и прост, но требует накопления больших информационных массивов о выходных координатах САУ, что связано с выполнением значительного объема вычислений. Стремление избавиться от недостатков метода статистических испытаний привело к разработке второй группы методов, основанных на модификациях эквивалентных возмущений метода, в которых вместо случайных реализаций возмущений на входы САУ или ее модели многократно подаются различные, заранее рассчитанные неслучайные величины этих возмущений. Из получающейся при этом совокупности выходных координат САУ формируются искомые вероятностные характеристики точности ее работы. Методы данной группы также обладают универсальностью, однако при их реализации возникают затруднения, связанные с оценкой точности получаемого результата. Следует отметить, что эти две группы методов являются численными, в отличие от третьей группы методов анализа нелинейных систем, куда входят различные варианты статистической линеаризации метода, основанного на идее замены нелинейных звеньев САУ линейными звеньями, обладающими эквивалентными статистическими характеристиками выходных координат. При этом могут быть получены аналитические выражения характеристик точности систем автоматического управления, что является большим достоинством метода по сравнению с двумя первыми.

Решение задач синтеза в С. а. у. с. д. разработано пока что наиболее основательно лишь применительно к линейным САУ. В общем случае задача статистического синтеза САУ сводится к построению системы, обеспечивающей

достижение оптим. значения показателя (критерия) качества ее работы с учетом воздействия случайных возмущений. Выбор критерия качества работы САУ представляет собой отдельную проблему, решаемую, как правило, вне рамок задачи синтеза САУ. Часто на практике роль такого критерия играет средняя квадратическая погрешность выходной координаты системы. Кроме того, применяются более сложные критерии (экстремум заданной функции математического ожидания и дисперсии ошибки системы; вероятность невыхода ошибки системы за пределы заданных границ и др.). Довольно общей мерой оптимальности САУ может служить минимум т. н. среднего риска (см.. Дуальное управление), вычисленного для заранее выбранной ф-ции цены погрешности (потерь) системы. Для определения оптим. параметров (а иногда и структуры САУ) наряду с некоторыми аналитическими методами широко применяется матем. моделирование САУ, а также расчет оптим. параметров САУ на ЭВМ по наискорейшего спуска методу, градиентному методу и др. (см. Оптимизации методы численные). С. а. у. с. д. является быстро развивающимся перспективным направлением современной теории автомат, управления, имеющим большое значение для повышения качества разработки САУ.

Лит.: Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М., 1962 [библиогр. с. 873—878]; Казаков И. В., Доступов В. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М., 1962 [библиогр. с. 325—328]; Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления. М., 1970 [библиогр. с. 400—405].

Б. Г. Доступов.