СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Специальные функции (с. ф.) - ф-ции, часто встречающиеся при решении задач матем. физики, вероятностей теории, математической статистики и техники. Основные с. ф. обычно определяются как решения линейных дифф. ур-ний 2-го порядка с переменными коэфф. Важнейшими такими ф-циями являются: гипергеометрические, цилиндрические, сферические, шаровые, ф-ции Матьё и др. К с. ф. обычно также относят

и др. трансцендентные ф-ции, которые не выражаются через элементарные. Среди таких ф-ций важнейшими являются эллиптические, гамма-функция, дзета-функция, интегр. логарифм, интеграл вероятности и др.

До широкого внедрения ЭЦВМ табл. с. ф. были основным средством их вычисления. Для получения табличных значений с. ф. используются интегр. ф-лы, разложения в бесконечные ряды, разложения в цепные дроби, а также асимптотические выражения. Такие выражения есть для большинства с. ф. Так, значения ф-ции Бесселя (цилиндрическая ф-ция 1-го рода), являющиеся одним из решений дифф. ур-ния

при вещественном аргументе х и целом индексе могут быть вычислены по интегр. ф-ле

Ф-ла (2), однако, требует выполнения слишком большого количества вычислений, особенно при больших или п. При малых для вычислений удобнее употреблять разложение ф-ции в ряд Тейлора

Если велико, то для получения удовлетворительного по точности результата при вычислениях по необходимо брать слишком большое число членов ряда. Поэтому лучше воспользоваться асимптотическим разложением

где

- целая часть числа ,

Из неравенства (5) можно сделать заключение, сколько членов асимптотического выражения (4) необходимо использовать для вычисления ф-ции с заданной точностью.

При вычислениях на большинстве современных ЭЦВМ для получения значений с. ф. использовать таблицы нерационально, т. к. их размещение требует слишком большого объема памяти ОЗУ. При вычислении с. ф. на мощных ЭЦВМ с большим объемом памяти ОЗУ иногда используют табл. для увеличения скорости нахождения этих ф-ций.

Для получения значений с. ф. на ЭЦВМ широко используют перечисленные выше выражения. При этом возникают дополнительные затруднения, связанные с ограниченной разрядностью ЭЦВМ. Пусть, напр., на ЭЦВМ необходимо вычислить функциональный ряд

фактически же вычисляется его частичная сумма

причем погрешность, возникающая в результате отбрасывания остатка, — это погрешность метода:

Абс. погрешность округления вычисления на ЭЦВМ суммы (7) зависит от разрядности машины и способа представления в ней информации (основание счисления, с фиксированной или плавающей запятой производятся вычисления), от способа вычисления слагаемого способа округления, принятого в машине, а также от порядка, в котором происходи? складывание слагаемых для получения суммы (7). При фиксации всех этих параметров для величины погрешности округления при вычислении на ЭЦВМ может быть получена оценка

Если макс. значение полной погрешности не должно превышать то необходимо, чтобы

Неравенство (10) ограничивает область применимости ряда (7) для вычисления на ЭЦВМ ф-ции

В некоторых случаях области применимости для ЭЦВМ разложений в бесконечный ряд и асимптотических выражений не пересекаются. В этих случаях для вычислений на машинах необходимо использовать др. выражения. Так, вычисление ф-ции для любого с точностью если относительная погрешность представления числа в машине есть по ф-лам (3) и (1) возможно лишь до порядка 20. Для больших значений необходимо использовать

В практических задачах часто приходится вычислять значения конкретных С. в ограниченной области изменения аргумента.

В таких случаях применяются различного рода приближения. Аппроксимирующие выражения обеспечивают, как правило, большую скорость вычисления. Существует большое к-во аппроксимирующих выражений для вычисления эллиптических интегралов, интегр. показательной ф-ции, интегр. синуса и косинуса, интегр. логарифма, интеграла вероятности, интегралов Френеля, ф-ций Эйлера, цилиндрических ф-ций нулевого и 1-го порядка, ф-ции, обратной к интегралу вероятности и др. Источником получения аппроксимирующих выражений чаще всего является разложение ф-ции в ряд по полиномам Чебышева и построение наилучшего равномерного полиномиального приближения. В случае, если выполнение операции деления на ЭЦВМ занимает приблизительно столько же времени, сколько и выполнение операции умножения, то хорошие результаты дает также использование наилучшего равномерного рационального ближения

В некоторых случаях используются приближения и более общего вида. Интервал L изменения аргумента х ф-ции делится чаще всего на две части, в каждой из которых используется своя аппроксимация. Иногда к-во делений может быть и больше. В последнее время значительное распространение получают кусочно-полиномиальные приближения (-приближения). При использовании этих приближений интервал L разбивается на большое число частей, на каждой из которых ф-ция приближается многочленом низкой степени (обычно не выше третьей).

Вычисление с. ф. на ЭЦВМ разных классов производится, как правило, с помощью различных аппроксимирующих выражений. Использование аппроксимирующего выражения, предназначенного для ЭЦВМ одного класса, для вычисления на машинах др. класса может привести к потере точности вычислений и увеличению времени вычисления с. ф. По мере появления новых типов ЭЦВМ предлагаются все новые аппроксимирующие выражения для вычисления с. ф. Однако такие выражения имеются далеко не для всех с. которые необходимо вычислять на ЭЦВМ. В таких случаях экономия машинного времени может быть иногда достигнута за счет использования рекуррентных соотношений. Такие соотношения существуют для цилиндрических, сферических и др. ф-ций. В частности, для любой цилиндрической ф-ции с индексом справедливо соотношение

позволяющее быстро найти значение этой ф-ции с индексом Рекуррентные соотношения имеют тот существенный недостаток, что при их использовании на ЭЦВМ происходит, как правило, быстрое накопление округления погрешности. Так, ф-лу (12) на ЭЦВМ среднего класса можно непосредственно использовать для вычисления ф-ций Бесселя лищь при Для некоторых случаев разработаны алгоритмы вычисления по рекуррентным ф-лам, позволяющие избегать столь быстрого накопления погрешности округления.

Весьма удобными для многих случаев вычисления элементарных ф-ций (особенно при вычислениях на ЭЦВМ с произвольной разрядностью) являются итерационные методы (см. Элементарных функций способы вычисления). Такие методы существуют лишь для немногих с. ф. Так, вычисление полного эллиптического интеграла 1-го рода

по методу Кинга состоит в последовательном вычислении величин где

Вычисление происходит до тех пор, пока не выполнится (с учетом погрешности округления) равенство этом случае

Итерационные методы можно использовать и для вычисления на ЭЦВМ обратных с. ф. через прямые. Так, в частности, можно вычислять ф-цию, обратную интегралу вероятности. Лит.: Дымарский Я. С. [и др.]. Справочник программиста, т. 1. Л., 1963; Ланс Дж. Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. Пер. с англ. М., 1962 [библиогр. с. 197— 204]; Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, [кн. 1-3]. Пер. с англ. М., 1965-67 [библиогр. кн. 1, с. 281-288; кн. 2, с. 277-288; кн. 3, с. 278—290]; Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. Пер. с англ. М.. 1969.

Б. А. Попов.