МНОЖИТЕЛЬНО-ДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА

— аналоговые решающие устройства, предназначенные для автоматического выполнения элементарных операций умножения и деления над определенными, непрерывно изменяющимися физическими величинами (машинными переменными), т. е. для воспроизведения функций вида

где X, Y, Z — машинные переменные, которые моделируют соответствующие математические переменные х, у, z исходной задачи — постоянный коэфф. машинного ур-ния; а — положительная или отрицательная постоянная величина в исходном ур-нии.

Схемы выполнения операции деления с помощью множительного устройства: а — схема включения множительного устройства в цепь обратной связи; б — схема использования функционального преобразователя для выполнения операции деления.

Связь между моделируемыми матем. переменными и маш. задается соответствующими масштабными ур-ниями

При выполнении элементарных операций умножения и деления масштаб зависимой переменной и масштабы независимых переменных должны быть соответственно связаны масштабными ур-ниями

Для воспроизведения зависимостей вида используются обычно каскадные схемы соединения устройств, выполняющих элементарные операции. Не все множительные устройства предназначены для выполнения операции умножения с учетом знаков сомножителей, поэтому различают множительные устройства четырехквадрантные, двухквадрантные и одноквадрантные. Четырехквадрантные устройства оперируют как с положительными, так и с отрицательными значениями входных маш. переменных и обеспечивают воспроизведение выходной величины с учетом знаков сомножителей. В двух-квадрантных устройствах допускается изменение знака входной величины (одного из сомножителей) только для одного входа. При этом знак произведения не зависит от знака 2-го сомножителя, подаваемого на 2-й вход устройства. Одноквадрантные устройства оперируют с сомножителями только одного знака. Используя различные схемные приемы принципиально возможно решить задачу учета знаков сомножителей при выполнении операции умножения с использованием одно- или двухквадрантных устройств.

Специализированные устройства для выполнения операции деления встречаются редко. Обычно операцию деления реализуют, используя искусственную или естественную обратимость множительных устройств. Чаще всего для этих целей применяют метод неявных ф-ций при решении ур-ния вида когда множительное устройство (МУ) включается в цепь обратной связи (контур деления) усилителя операционного постоянного тока (рис., а). В суммирующей точке 2 усилителя образуется сумма токов Учитывая, что а коэфф. усиления усилителя достаточно большой (стремится к бесконечности), можно записать, что тогда

Деление может быть выполнено и путем использования МУ в сочетании с преобразователем функциональным (ПФ). который воспроизводит на выходе величину, обратную входной (рис., б). Операции возведения в степень и извлечения корня той или иной степени могут осуществляться путем многократной реализации соответственно элементарных операций умножения и деления.

М.-д. у. можно классифицировать по различным признакам. По принципу действия различают мех., электромех. и электр. (электронные) устройства. Можно классифицировать их исходя из общей возможной точности выполнения операций с учетом полосы пропускания (частотного диапазона). В СССР общепринятым является деление М.-д. у. на устройства прямого действия, непрямого действия и комбинированные. В устройствах прямого действия операция умножения (деления) независимых переменных осуществляется непосредственно за счет использования физ. законов, которые устанавливают функциональную связь между двумя или несколькими величинами. В устройствах непрямого действия операция умножения (деления) осуществляется путем перехода к другим вспомогательным матем. операциям, совокупность которых обеспечивает в конечном результате выполнение операций умножения (деления). В этом случае операция умножения может быть выполнена, напр., путем реализации правой части уравнения

при использовании суммирующих устройств и функциональных элементов с квадратичными характеристиками. К комбинированным устройствам можно отнести аналого-цифровые М.-д. у., в которых используют промежуточные преобразования входной аналоговой величины в цифровую, и М.-д. у., в которых реализация зависимости (1) обеспечивается не применением спец. квадратичных функциональных преобразователей, а, напр., устройствами с использованием напряжений треугольной формы и др.

В АВМ широко применяют такие электронные множительные устройства: 1) устройства непрямого действия с квадраторами, в которых для реализации соотношения (1) используют диодные или тиритовые квадраторы;

2) устройства прямого действия с импульсными делителями напряжения, в которых используют сочетание амплитудно-импульсной или широтно-импульсной модуляции последовательности импульсов напряжения прямоугольной формы (время-импульсные М.-д. у.);

3) комбинированные устройства с использованием напряжений треугольной формы и устройства с параллельными каналами (груботочные и о разделением каналов по частотным признакам). к. Г. Самофалов. МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, пограничный между логикой математической и алгеброй. Всякая теория Т класса объектов К связана с называемым сигнатурой набором понятий, отношений и операций, которые являются осн. в теории, а сама эта теория Т является мн-вом высказываний языка L сигнатуры Q, истинных на каждом объекте из К. Это мн-во высказываний зависит от логики Л и от языка L, которые используются при изучении класса К. Таким образом, матем. модель научной теории есть последовательность , где К — класс изучаемых объектов, Q — выбранная сигнатура, L — выбранный язык, Л — используемая логика, Т — совокупность высказываний языка L сигнатуры Q, истинных в логике Л на всех объектах из К. Как правило, в качестве К выбирается класс алгебр, систем сигнатуры Q, в качестве Л — классическая двухзначная логика. Меняя язык L, получаем различные теории класса К. М. т. изучает последовательности . Наиболее изученным является случай, когда L есть язык первой ступени — язык Исчисление предикатов узкое), хотя интересные результаты получены и в других случаях (когда в качестве L выбирается т. н. язык ).

Элементарной теорией класса К алгебр. систем сигнатуры совокупность всех высказываний языка истинных на всех системах из К. Алгебр, система А сигнатуры моделью совокупности языка сигнатуры Q, если все высказывания из Т истинны в А. Пишут: , если А есть модель Т. Через обозначают класс всех моделей для Т. Класс К алгебр, систем сигнатуры аксиоматизируемым, если для некоторой совокупности Т высказываний языка сигнатуры полной теорией, если Т есть а К состоит из одной системы А. Т наз. совместной, если класс непуст. Алгебр, системы А и В сигнатуры элементарно эквивалентными, если

Начало М. т. относится к 30-м годам 20 ст., когда были доказаны две осн. теоремы.

Теорема 1 (Гёделя — Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности Т высказываний языка совместна, то совместна и вся совокупность Т.

Теорема 2 (Лёвенгейма—Сколема—Мальцева). Если совокупность высказываний языка сигнатуры Q имеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры Q.

Теорема 1, называемая часто теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре. На основе этой теоремы сов. математик А. И. Мальцев (1909—67) создал метод доказательства т. н. локальных теорем алгебры. Совокупность подсистем системы А наз. локальным покрытием А, если любой элемент из А содержится в некоторой и любые две подсистемы и А содержатся в некоторой третьей подсистеме Алгебр, система локально обладает свойством Ф, если она имеет локальное покрытие подсистемами, каждая из которых обладает свойством Ф. Говорят, что для Ф справедлива локальная теорема, если из того, что некоторая алгебр, система локально обладает свойством Ф, следует, что эта система обладает свойством Ф. Например, для свойства группы быть абелевой справедлива локальная теорема, а для

свойства быть конечной локальная теорема не справедлива. Предметно-универсальной наз. предваренная ф-ла языка второй ступени, не содержащая кванторов существования, относящихся к предметным переменным. Квазиуниверсальной наз. замкнутая ф-ла языка второй ступени, полученная из булевой комбинации предметно-универсальных навешиванием кванторов всеобщности по предикатным переменным. Если квазиуниверсальяая ф-ла истинна на подсистемах, локально покрывающих алгебр, систему, то Ф истинна и на этой системе. Например, классы простых и доупорядочиваемых групп задаются квазиуниверсальными ф-лами и, значит, для этих классов справедлива локальная теорема.

Многие исследования по М. т. связаны с изучением свойств, сохраняющихся при операциях над алгебр, системами. К числу важнейших операций относятся гомоморфизмы, прямые и фильтрованные произведения и другие. Говорят, что высказывание Ф устойчиво относительно гомоморфизмов, если из истинности Ф в алгебр, системе А следует истинность Ф во всех эпиморфных образах А. языка положительной, если Ф не содержит знаков отрицания, импликации и эквивалентности. Высказывание Ф языка устойчиво относительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда Ф эквивалентно положительному высказыванию. Пусть алгебр, системы сигнатуры фильтр на , т. е. такая совокупность подмножеств мн-ва , которая замкнута относительно надмножеств и конечных пересечений и не содержит пустого мн-ва. На декартовом произведении основных мн-в систем рассмотрим отношение эквивалентности полагая для любых а, b из М. Через для обозначим класс эквивалентности, содержащий а. Мн-во всех полученных классов эквивалентности обозначается через . На определим предикаты и операции, интерпретирующие соответствующие символы из Q. Полагаем для -местного предикатного символа R из Q и любых . Для -местного символа операции из Q и любых а, полагаем

Мн-во вместе с так определенными предикатами и операциями образует алгебр, систему А сигнатуры которая наз. фильтрованным произведением систем по фильтру D и обозначается через . Если совпадает с одной и той же системой В для всех то фильтрованной степенью системы В по фильтру D и обозначается через . В случае, когда фильтр D на 7 является ультрафильтром, т. е. не является собственной частью никакого фильтра на 7, фильтрованное произведение по фильтру ультрапроизведением, а фильтрованная степень — ультрастепенью. языка сигнатуры фильтрующейся (условно фильтрующейся) по фильтру D, если для каждого набора алгебр, систем сигнатуры Q и каждых имеем языка сигнатуры хорновской, если ее можно получить конъюнкциями и навешиванием кванторов из вида где — атомные (элементарные) ф-лы языка сигнатуры Q. Примерами хорновских являются тождества и квазитождества. Центральной в теории ультрапроизведений является теорема Лося: всякая формула языка фильтруется по любому ультрафильтру. Ф-ла языка условно фильтруется по любому фильтру тогда и только тогда, когда эта ф-ла эквивалентна хорновскоп ф-ле. Интересна также теорема Кислера—Шелаха: алгебраические системы тогда и только тогда элементарно эквивалентны, когда существует такой ультрафильтр D на множестве , что изоморфны. Из теоремы Лося следует, что аксиоматизируемые классы являются замкнутыми относительно операции взятия ультрапроизведения (ультра замкнутыми). Всякий ультразамкнутый и замкнутый относительно элементарной эквивалентности класс алгебр, систем одной сигнатуры является аксиоматизируемым. Известны различные критерии аксиоматизируемости и в других терминах. Если для каждого натурального мн-во тех индексов, для которых соответствующий сомножитель имеет мощность , не принадлежит D, то мощность ультрапроизведения по неглавному ультрафильтру D на счетном мн-ве равна континууму. Значит, если аксиоматизируемый класс содержит конечные системы с как угодно большим числом элементов, то он содержит и бесконечные системы. Например, класс конечных групп не является аксиоматизируемым.

Пусть обозначает обогащение алгебр, системы А при помощи предиката Р, а обозначает сигнатуру, получаемую из Q присоединением предикатного символа Р. Во многих случаях важно понять, когда в каждой системе из класса К алгебр, систем сигнатуры предикат Р задается формулой языка -охо сигнатуры Q. Частичный ответ на этот вопрос дает теорема Бэта: тогда и только тогда существует такая формула языка

сигнатуры Q, что формула истинна на всех системах аксиоматизируемого класса К сигнатуры , когда множество содержит не более одного элемента для каждой алгебр, системы А сигнатуры Q. Известны и более тонкие теоремы такого рода. Важным понятием М. т. является понятие насыщенной системы. Через обозначим сигнатуру, получаемую из Q добавлением символов выделенных элементов для всех через для обозначим алгебр, систему сигнатуры которая является обогащением алгебр, системы А сигнатуры которой символ интерпретируется элементом а для каждого . Система А сигнатуры Q называется -насыщенной, если для каждого мощность которого меньше k, и каждой совокупности формул языка сигнатуры не содержащих свободных переменных, отличных от из конечной выполнимости в следует выполнимость в Система А называется насыщенной, если мощность А равна к и А является -насыщенной. Две элементарно эквивалентные насыщенные системы одной мощности изоморфны. Большое число примеров -насыщенных систем доставляют ультрапроизведения. Например, если D — неглавный ультрафильтр на счетном множестве (неглавным наз. ультрафильтр, пересечение всех элементов которого — пусто), то является -насыщенной системой для любых алгебр, систем счетной сигнатуры

М. т. развивается. Наиболее крупными ее разделами являются: теория разрешимых и неразрешимых теорий, теория нумерованных моделей, изучение категоричных теорий, изучение свойств полных теорий, особенно свойств, близких к категоричности, нестандартный анализ, теория языков , изучение моделей теории множеств, теория эквациональной компактности, теория непрерывных и булевозначных моделей и другие.

Лит.: Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970 [библиогр. с. 384—387]; Тайцлин М. А. Теория моделей. Новосибирск, 1970; Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. Пер. с англ. М.. 1967 [библиогр. с. 356— 372]. А. Д. Тайманов, А. М. Тайцлин.