ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Говоря о методах решения тех или иных дифференциальных уравнений в частных производных, обычно имеют в виду приближенные методы, так как точные решения удается найти в крайне редких случаях, да и то чаще не в замкнутом виде, а в виде рядов, которые нужно еще суммировать. Одними из наиболее распространенных методов прибл. решения краевых задач для дифф. ур-ний являются разностные методы. Широкое применение этих методов объясняется их большой универсальностью и сравнительной простотой реализации на ЭВМ (ем. Конечнорааностные методы).

Суть разностных методов состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов заменяется дискретным мн-вом точек (узлов), называемым сеткой; вместо ф-ций непрерывного аргумента рассматриваются ф-ции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифф. ур-ние и граничные условия, аппроксимируются разностными отношениями; при этом краевая задача для дифф. ур-ния заменяется системой алгебр, ур-ний (разностной схемой). В случае линейности исходной задачи разностная схема является системой линейных алгебр, ур-ний. Если полученная таким образом разностная краевая задача разрешима (быть может, только на достаточно мелкой сетке, т. е. сетке с густо расположенными узлами) и ее решение при безграничном измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифф. ур-ния, то полученное на любой фиксированной сетке решение разностной задачи и принимается за прибл. решение исходной задачи.

Классическими представителями эллиптических ур-ний (см. Дифференциальных линейных уравнений с частными производными классификация) 2-го порядка являются: 1) уравнение Пуассона (Лапласа, если

2) ур-ние с самосопряженным оператором и переменными коэфф.

Здесь искомое решение, заданные ф-ции (правые части), кг заданные коэфф. ур-ния. Типичными краевыми задачами для эллиптических уравнений 2-го порядка в ограниченной области G с границей Г являются: 1) первая краевая задача (задача с краевыми условиями Дирихле), когда на границе Г задано искомое решение и третья краевая задача, когда на границе Г задана линейная комбинация производной искомого решения по конормали и самого решения в, где оператор производной по конормали задается соотношением , а — направление внутренней нормали к Г, и заданный коэфф. Если то производная по конормали совпадает с производной по нормали. Если то граничные условия называются условиями 2-го рода (условиями Неймана), а сама задача — второй краевой задачей.

Если область G, в которой требуется найти решение ур-ния, является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, то в качестве сётки на G наиболее естественно взять мн-во точек пересечения двух семейств прямых где принимает все целочисленные значения от 0 до от 0 до Числа подчинены условию: при что прямоугольник ограничен прямыми Мн-во точек пересечения указанных прямых, расположенных внутри прямоугольника мн-вом внутренних узлов и обозначается через . Мн-во точек пересечения, расположенных на границе Г прямоугольника мн-вом граничных узлов и обозначается через . Объединение и обозначается через . Если область G имеет криволинейную границу Г, то сетку на ней можно ввести тем же способом, но разделение мн-ва узлов на внутренние и граничные становится менее очевидным и зависит от последующих способов аппроксимации ур-ния и граничных условий. В качестве сетки на

можно взять и произвольное конечное мн-во точек в G, но тогда в дальнейшем при аппроксимации ур-ния и граничных условий возникнут дополнительные трудности. В случае описанной выше прямоугольной сетки со сеточная ф-ция задаваемая соотношением шагом сетки со по направлению в точке ф-ция задает средний шаг сетки по направлению Если т. е. если шаги сетки не зависят от координат, сетка наз. равномерной.

Наиболее употребительной аппроксимацией ур-ния Пуассона на равномерной сетке является пятиточечная аппроксимапия вида левое разностное отношение по направлению разностное отношение по , а симметричное разностное отношение по определяются аналогично. При такой аппроксимации каждое ур-ние содержит значения искомого решения в пяти узлах сетки Если искомое решение ур-ния Пуассона имеет непрерывные частные производные по до 4-го порядка, то погрешность указанной аппроксимации есть величина Для ур-ния Пуассона на равномерной сетке часто используют девятиточечную аппроксимацию вида . где

Если искомое решение имеет непрерывные производные до порядка, то погр. аппроксимации этой схемы на решениях ур-ния Пуассона есть величина Если к тому же сетка со квадратная, т. е. и искомое решение имеет непрерывные производные до порядка, то схема где

имеет погр. аппроксимации На неравномерной сетке аппроксимация ур-ния Пуассона имеет вид где

есть правое разностное отношение по направлению с делением на средний шаг. Ур-ние с переменными коэфф. указанного выше вида на неравномерной сетке аппроксимируется так:

где коэфф. разностной схемы выражаются через соответствующие коэфф. дифф. ур-ния по ф-лам

Граничные условия 1-го рода в рассматриваемом случае прямоугольной области, когда граница сетки принадлежит границе Г исходной области а, можно аппроксимировать точно: . Аппроксимация граничных условий 3-го рода для ур-ния Пуассона в случае равномерной сетки со выглядит так: а) если граничная точка сетки не является угловой и расположена на левой границе прямоугольника, то

б) если граничная точка расположена на верхней границе прямоугольника, то

в) если граничная точка расположена в левом верхнем углу прямоугольника, то

На остальных участках границы граничные условия записываются аналогично. Отметим, что указанная аппроксимация граничных условий 3-го рода согласована с пятиточечной аппроксимацией ур-ния Пуассона, т. е. имеет погр. Можно построить аппроксимации указанных граничных условий, согласованные с девятиточечными аппроксимациями ур-ния Пуассона.

Для того, чтобы записать разностную аппроксимацию 3-й краевой задачи для ур-ния Пуассона на неравномерной сетке.

воспользуемся операторами которые задаются соотношением

Указанная аппроксимация имеет вид для всех точек сетки При этом если точка внутренняя, если точка не является угловой и расположена на левой границе прямоугольника и т. д.

Как уже отмечалось, разностные схемы представляют собой не что иное, как системы линейных алгебр, ур-ний. Порядок системы тем выше, чем мельче (гуще) сетка. Но точность схем зависит от величины шагов сетки, и она тем больше, чем мельче шаги. Поэтому получающиеся алгебр, системы обычно имеют довольно высокий порядок. Для нахождения решения этих систем, как правило, используются итерационные методы. Для их успешного применения полезно знать миним. и макс. собственные значения матрицы системы (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы вычисления) или их оценки снизу и сверху соответственно. Приведем указанные оценки для некоторых задач, причем . В задаче на собственные значения

где есть определенный выше оператор с переменным коэфф. при любом фиксированном миним. собственное значение не меньше а макс. собственное значение — не больше Здесь миним. значение коэфф. макс. значение этого коэфф. Аналогичные оценки справедливы для собственных значений оператора . Если, в частности, то Если к тому же сетка по равномерна, то Оценки для собственных значений в случае 3-й краевой задачи выглядят более громоздко и здесь не приводятся.

Наиболее простым итерационным методом решения задачи является метод простой итерации. Он состоит в следующем: задаваясь произвольным начальным приближением удовлетворяющим граничным условиям последующие приближения находят по где параметр. Для того, чтобы с помощью этого метода уменьшить начальную погр. в раз, достаточно произвести итераций. Если в задаче то дада Для задачи метод выглядит аналогично. Скорость сходимости этого метода очень малая и с уменьшением шага сетки h быстро уменьшается.

Обобщением метода простой итерации, увеличивающим скорость его сходимости, является итерационный метод Ричардсона (метод простой итерации с чебышевским набором параметров). Этот метод отличается от метода простой итерации лишь тем, что итерационный параметр зависит от номера итерации Количество итераций заранее фиксировано и равно . Итерационный параметр где Для уменьшения нач. погр. в раз достаточно провести итераций. Если то Чтобы вычисления были устойчивыми, необходимо изменить естественный порядок использования итерационных параметров на следующий — целое):

(порядок использования итерационных параметров при других см. библиографию).

Если оператор задачи допускает разделение переменных, то еще большей скоростью сходимости обладает метод переменных направлений. Вычисления по этому методу проводятся по ф-лам

где заданное начальное приближение, вспомогательные (промежуточные) значения, итерационные параметры,

от выбора которых существенно зависит скорость сходимости. Если, напр., нижние и верхние оценки собственных значений операторов совпадают, т. е. , то итерационные параметры следует вычислять по ф-лам где при

Входящие в эти ф-лы параметры а и q задаются соотношениями

Для уменьшения начальной погр. в раз с помощью этого метода достаточно провести Если, напр., , то . Метод переменных направлений в описанном виде является одним из наиболее быстро сходящихся итерационных методов.

Для решения алгебр, систем, полученных при применении метода сеток, используются и другие итерационные методы, такие как метод последовательной верхней релаксации, двухступенчатый итерационный метод, метод миним. поправок в той или иной форме и др. Лит.: Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.- Л., 1962 [библиогр. с. 698—708]; Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538— 550]; Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Пер. с англ. М., 1963 [библиогр. с. 456—470]. В. Б. Андреев.