Первая теорема Кастилиано
16. Теперь рассмотрим, как влияет на 
изменение какой-нибудь одной силы (скажем, 
когда остальные силы остаются постоянными. Все перемещения в результате изменения 
станут другими. Скорость, с которой будет изменяться и, равна Из выражения (18) мы получим, что
аналогично мы можем показать, что
т. е. перемещение, соответствующее какой-нибудь одной (скажем, 
из системы сил 
можно найти путем образования выражения полной упругой энергии как функции сил и дифференцирования последней частным образом по 
В этом заключается «первая теорема Кастилиано».
В частности, если 
сила, вызванная связью (т. е, жесткой опорой, не допускающей перемещения) в точке под номером 
то частная производная от 
по 
обращается в нуль, и мы имеем:
17. Мы увидим, что «первая теорема Кастилиано», выраженная соотношениями (20), имеет очень большое практическое значение. Надо заметить, что если мы будем исходить
из выражения для 
в форме (11), то мы получим, что
Здесь, как и ранее, предполагается, что 
остаются постоянными, во время изменения 
Изменение 
будет (в общем) влиять на все перемещения. Но из (9) мы получим (так как 
постоянные величины), что
откуда, используя соотношения типа (15), мы найдем, что выражение, содержащееся в фигурных скобках в (21), эквивалентно 
что, согласно первому соотношению из (9), дает
Таким образом, из (21) мы имеем:
что и было получено раньше.
