Различные методы решения

327. Общая задача теории упругости заключается в том, что нужно найти решение общих уравнений при данных граничных условиях, которые задаются либо в виде

напряжений, либо в виде смещений. Как правило, решения, интересующие инженера, принадлежат к некоторым специальным частным случаям, например, плоским или обладающим некоторого рода симметрией.

Решение можно получить, идя различными путями. Во-первых, мы можем взять общие уравнения (14) или (16) и решать их с тем, чтобы прямо найти Во-вторых, мы можем комбинировать уравнения равновесия в напряжениях, данные в § 285 главы VIII, с «уравнениями совместности для деформаций», данными в § 308 главы IX. А затем использовать получившиеся уравнения для того, чтобы вывести выражения для компонентов напряжения, не вводя явно компоненты смещения. Каждый из методов имеет свою область применения.

Или еще иначе: мы можем взять в некоторой форме удовлетворяющей уравнениям (14) или (16), и затем получить граничные условия, к которым они приводят. Таким образом, мы придем к косвенному методу решения, который часто оказывается полезным. Мы также можем использовать некоторые элементарные соображения, как, например, в главе V, и получить приближенные решения. Полученные таким путем приближенные решения нужно потом подставить в общие уравнения для того, чтобы проверить, будут ли в действительности иметь место найденные напряжения. Так, например, было сделано для кручения в § 309 главы IX.

Наконец отметим «полуобратный» метод Сен-Венана, о котором речь впереди. В этом методе делаются упрощенные предположения о распределении напряжений. Это ограничивает общность получаемого решения, но, как можно видеть согласно общему принципу Сен-Венана (глава III), не исключает решения искомого вида. Этот метод один из самых полезных для инженера.

Так, пробуя удовлетворить условиям задачи о чистом изгибе цилиндрической балки (§ 164), мы можем предположить, что все деформации и напряжения не зависят от координаты z, если направлена по оси балки. Однако это предположение совершенно недопустимо, когда изгибающий момент изменяется по оси Так как только один компонент напряжения может дать изгибающий момент, то мы попробуем удовлетворить условиям задачи, предполагая, что другие компоненты напряжений всюду равны

нулю. Граничные условия при этом предположении, очевидно, удовлетворяются. Мы видим, что полуобратный метод в этом случае уменьшает сложность общих уравнений, так как мы имеем частные предположения:

Выразим эти предположения через компоненты деформации:

После того как мы сделали предположения (I), мы видим, что уравнения равновесия в напряжениях (глава VIII, § 285) удовлетворяются тождественно. Два из уравнений совместности (глава IX, § 308) после подстановки в них (II) удовлетворяются тождественно, другие сильно упрощаются и приобретают вид

Отсюда и из (I) и (II) мы видим, что должно иметь такой вид:

где - постоянные. Решение можно завершить обычным путем.