Влияние малого круглого отверстия на напряжения в пластинке, подверженной равномерному растяжению

423. Пусть мы имеем пластинку, подверженную действию равномерного растягивающего напряжения интенсивности В некоторой точке пластинки сделаем малое отверстие.

Произойдет перераспределение напряжений. В непосредственной близости от отверстия возникнут большие дополнительные напряжения. Перераспределение напряжений, конечно, будет зависеть от формы отверстия. Если мы предположим, что отверстие круглое, то получим простейший случай общей задачи о малых полостях в непрерывном материале. Возьмем ось в направлении растяжения, а начало координат поместим в центре отверстия. Если отверстия нет, то функция напряжений имеет такой вид:

На самом деле, согласно формулам (21), мы имеем:

Напишем выражение (I) в полярных координатах:

И тогда, согласно формулам (42), мы получим такие компоненты напряжения:

Для учета влияния отверстия мы должны к функции прибавить дополнительную функцию напряжений такую, что обратятся в нуль на контуре отверстия (например при напряжения на большом расстоянии от отверстия не изменятся. Воспользовавшись формулами (43), мы видим, что члены, входящие в выражения для компонентов напряжения (III) и содержащие 8, пропадут, и условие удовлетворится, если мы примем:

Член в формуле для пропадет, если в выражениях (45) принять:

следовательно, искомая функция напряжений будет иметь вид:

Соответствующие ей дополнительные компоненты напряжения следующие:

424. Компоненты общего напряженного состояния, получающиеся в результате наложения определяются путем сложения формул для компонентов отдельных напряженных состояний (III) и Мы имеем:

Выражения для как и требуется, на окружности обращаются в нуль. Тангенциальный компонент напряжения на контуре отверстия равен

Отсюда видно, что он возрастает от значений (сжимающих) в точках до положительных (растягивающих) значений в точках Отверстие вызывает трехкратное увеличение напряжения.

На больших по сравнению с радиусом а расстояниях от центра отверстия члены малы. Слздовательно, компоненты напряжения (46) будут почти эквивалентны компонентам напряжения (III), соответствующим состоянию простого растяжения. Таким образом, далеко от отверстия перераспределение давления в случае малого отверстия не зависит от его радиуса. Если отверстие достаточно далеко от края пластинки, то оно не будет заметно влиять на распределение напряжений по краю.

425. Строго говоря, наша задача является одной из задач плоского напряженного состояния, в то время, как проведенное нами исследование относится к плоской деформации.

Решение задачи, выраженное в формулах (46), можно дотолнить, прибавив, как и в § 417, члены с множителем однако, эти дололнительные члены, как в задаче, рассмотренной в § 417, не имеют практического значения.