Применение принципа суперпозиции к телам с начальными напряжениями

77. Предположим теперь, что к составному телу приложена внешняя сила растяжения. Под действием этой силы тело как целое испытывает дополнительное удлинение представленное на диаграмме отрезком Окончательное удлинение В изобразится отрезком а сила растяжения в В — отрезком Укорочение уменьшится до величины, равной отрезку и сила сжатия в до величины, равной отрезку Очевидно, что внешняя сила, представленная на диаграмме отрезком равна силе растяжения, вызывающей в В удлинение сила растяжения, вызывающая в удлинение

Таким образом мы видим, что сила сопротивления удлинению от внешней силы составного тела не зависит от X,

т. е. от величины, являющейся следствием начального напряжения. Отсюда вытекает, что принцип суперпозиции сохраняется для тел с «начальными напряжениями».

При действии внешней силы, представленной отрезком упругая энергия, запасенная в В, изображается площадью заштрихованного треугольника а упругая энергия, запасенная в А, изображается площадью заштрихованного треугольника Следовательно, полная упругая энергия системы (изображенная всей заштрихованной площадью) превосходит энергию начального напряжения (изображаемую площадью ВМА, ср. § 76) на величину, изображенную площадью треугольника Внешнюю силу растяжения обозначим через а окончательное удлинение через Энергия, представленная площадью треугольника равна и (в соответствии с только что установленным результатом) не зависит от величины начальных напряжений. Наш вывод можно записать с помощью формулы

где и обозначает общую величину упругой энергии, — величину энергии, вызванную начальными напряжениями до приложения внешней силы энергию, которая была бы запасена телом при действии на него силы если X (а отсюда и начальное напряжение) равнялось бы нулю. Эта последняя величина обязательно положительна.