Напряжения при изгибе балки, вызванные перерезывающей силой

223. Изменение изгибающего момента по длине балки вызывает перерэзывающую силу Наше решение не учитывает перерезывающей силы. Но это обстоятельство должно быть принято во внимание, когда мы попытаемся применить наше решение к задаче с переменным изгибающим моменттом. Как обычно, будем считать изгибающий момент положительным тогда, когда он стремится вращать левую часть балки по часовой стрелке. Перерезывающую силу считаем положительной тогда, когда левая часть балки по отношению к правой ее части стремится двигаться вверх. При этом условии, как было показано в § 181 гл. VI, из статических соображений вытекает, что связано с следующим уравнением:

Рис. 73.

Рис. 74.

Пусть (рис. 73) представляет собой элемент балки, заключенный между сечениями а: и Через обозначим изгибающие моменты в этих сечениях. Растягивающее напряжение на левой стороне элемента на расстоянии (у направлено вниз) от нейтральной оси дается выражением (1) при том же правиле знаков для Для правой стороны элемента (где изгибающий момент

растягивающее напряжение дается аналогичной формулой:

Отсюда видно, что имеются продольные напряжения, результирующее усилие которых стремится передвинуть нижнюю часть элемента слева направо, а верхнюю часть справа налево. Это результирующее усилие, действуя на заштрихованную часть элемента (рис. 73) и вызывает силу величины

где наибольшая в выбранном сечении ордината, измеренная вниз от нейтральной линии; ширина выбранного сечения (в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа) на расстоянии у от нейтральной плоскости.

На плоскости, отделяющей заштрихованную часть элемента от незаштрихованной, должно появиться перерезывающее усилие, уравновешивающее только что рассмотренную силу.

Площадь этой плоскости где ширина сечения, соответствующая ординате у. Таким образом, если средняя интенсивность горизонтального касательного напряжения на упомянутой плоскости, то равновесие требует, чтобы

Из этого уравнения, неограниченно уменьшая мы получим:

(статический момент относительно нейтральной оси той части поперечного сечения, которая лежит ниже рассматриваемой плоскости).

Через обозначена средняя интенсивность горизонтального компонента касательного напряжения на плоскости при ширине сечения, равной

224. Согласно теореме главы IV, § 128, касательное напряжение на горизонтальной плоскости должно сопровождаться касательным напряжением равной интенсивности на вертикальной плоскости. Выше мы имели горизонтальную плоскость, следовательно, на перпендикулярной ей вертикальной плоскости появится касательное напряжение (см. рис. 73). А будет представлять собой также среднюю интенсивность вертикального компонента касательного напряжения в поперечном сечении на ординате у.

Опуская штрихи, мы можем сказать, что по ширине поперечного сечения, расположенной на расстоянии у ниже нейтральной оси, вертикальный компонент касательного напряжения имеет среднюю интенсивность определяемую соотношением:

Обозначения этого уравнения разъяснены на рис. 74, где рассматриваемая площадь заштрихована.

225. Через обозначим статический момент, стоящий в правой части (6), тогда

Проинтегрируем обе части этого равенства по у по всей высоте поперечного сечения, получим

Последнее равенство получилось в силу интегрирования по частям.

Нейтральная ось проходит через центры тяжести поперечных сечений, и, следовательно, статический момент площади всего поперечного сечения относительно этой оси равен нулю. Таким образом обращается в нуль при подстановке пределов интегрирования. Из определения следует, что

И уравнение (II) можно записать так:

А это показывает, что среднее касательное напряжение, интенсивность которого определяется соотношением (6), вызывает, как и должно, результирующее перерезывающее усилие величины