Уравнение движения в напряжениях

286. До сих пор мы занимались изучением вопроса о том, как можно задать данное напряженное состояние. Мы установили, что напряженное состояние в данной точке будет определено, если задать три компонента напряжения на каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостях. В самом деле, тогда компоненты напряжения на любой другой плоскости, проходящей через рассматриваемую точку, можно вычислить как функции девяти заданных компонентов напряжения, из которых, как мы видели, только шесть могут быть заданы произвольно.

Рис. 93.

Шесть независимых компонентов напряжения следующие:

в общем случае напряженного состояния каждый из этих шести компонентов напряжения меняется от точки к точке напряженного тела. До сих пор мы еще не пытались исследовать характер этого изменения и определяющие его условия.

Ясно, что некоторые условия должны быть наложены в силу динамических соображений. Это потому, что движение каждого элементарного кубика, вырезанного из тела, будет зависеть, согласно обычным законам динамики, от сил, действующих на него в результате напряжений, передающихся по его граням. Рассмотрим, например, проекцию ускорения на ось параллелепипеда с размерами a, b, c в направлениях Это ускорение, в общем случае, является (1) следствием действия массовых сил (таких как, например,

сила тяжести), которые действуют на каждый элемент объема параллелепипеда, и (2) следствием напряжений, действующих на его гранях. Из девяти компонентов напряжения только три, а именно и могут сообщать параллелепипеду ускорение в направлении Сначала рассмотрим действие

Грани параллелепипеда, на которых действует этот компонент напряжения отмечены на рисунке штриховкой. Площади обеих граней одинаковы и равны

Напряжения, действующие на этих гранях, очевидно, вызывают противоположно направленные силы. Неуравновешенная сила в проекции на ось возникнет вследствие приращения величины напряжения на правой грани параллелепипеда по сравнению с его величиной на левой грани. Если интенсивность рассматриваемого напряжения на левой грани обозначить через а интенсивность на правой грани через (см. рисунок), то величина неуравновешенной силы будет:

Если а можно считать малой величиной, то по формуле Тейлора напишем:

Мы употребляем знак частной производной, потому что в общем случае является функцией всех трех координат а изменение происходит только в направлении (см. рис. 93).

Если размеры параллелепипеда достаточно малы, то мы, как и в предыдущих параграфах, можем считать, что его плотность постоянна и равна Таким образом масса параллелепипеда будет равна Ускорение, вызванное неуравновешенной силой (I), равно:

Последнее выражение получено после подстановки (II).

Если неограниченно уменьшать размеры параллелепипеда, то в пределе для ускорения вследствие действия компонента напряжения получится выражение

Аналогичное исследование показывает, что напряжения и вызывают соответственно ускорения и Пусть величина массовой силы будет такова, что, действзя изолированно, она сообщит параллелепипеду ускорение, проекция которого на ось равна Суммарное действие массовой силы и компонентов напряжения должно сообщить параллелепипеду ускорение, проекция которого на ось обозначена через и по величине равна

Подобным образом можно вычислить и другие проекции ускорения, т. е. проекцию ускорения на ось и — проекцию ускорения на ось

Таким образом мы получаем три уравнения движения в напряжениях. Одно из них уравнение (III), а два других по своей форме ему подобны:

Если тело покоится, т. е. в уравнениях (16) равны нулю, то мы имеем три уравнения равновесия в напряжениях. Далее мы часто будем сталкиваться с такими

случаями, в которых массовые силы не действуют, тогда уравнения равновесия в напряжениях принимают вид

Заметим, что уравнения (17) удовлетворяются любым равномерно напряженным состоянием, т. е. состоянием, в котором не зависят от х, у, z. И еще заметим, что, если уравнения (16) удовлетворяются при равных нулю, то массовые силы уравновешиваются поверхностными силами, приложенными к границе тела.