Прямоугольные рамы

69. В качестве последнего примера на применение первой теоремы Кастилиано к задачам, в которые входят изогнутые стержни, мы рассмотрим прямоугольную раму, показанную на рис. 24. Три балки постоянного поперечного сечения и одинаковой жесткости при изгибе, жестко соединены так, что образуют три стороны прямоугольника. Нижние концы вертикальных стержней заделаны. В середине горизонтального стержня приложен сосредоточенный груз Взяв упругую энергию только вследствие изгиба, мы вычислим моменты в заделке и раслор появляющийся в горизонтальной балке.

Вследствие симметрии реакции каждого из заделанных концов, как показанэ на рисунке, могут быть представлены силами

Н и моментом Тогда для изгибающего момента в стойке на высоте X над уровнем земли мы имеем

А для изгибающего момента в горизонтальном стержне (I) на расстоянии от одного из концов

Откуда (так как перемещения, соответствующие и равны нулю)

(N. В. Строго говоря, нужно учесть в пределах интегрирования длины, занятые шарнирами в А и В). Беря интегралы, мы получим

откуда, вычитая, мы находим

Подставляя найденное значение в первое из (III), мы получим, что

Тогда, согласно (IV), мы имеем

так что изгибающие моменты в (рис. 24) будут:

Пример

20. (Camb. М. S. Т. 1934.) Рама того же типа, что на рис. 24, состоит из двух вертикальных стоек и заделанных в основаниях. Верхние концы стоек прикреплены к поперечной балке Все три стержня имеют одинаковые поперечные сечения и одинаковую длину а.

Если рама нагружена в средней точке стержня вертикальной силой а в А горизонтальной силой (действующей слева направо), то показать, что изгибающие моменты на концах в стержне будут и что распор в этом стержне будет равен

Изгибом и изменением длины стержней вследствие аксиального распора можно пренебречь.

[N. В. При рассмотрении влияния горизонтальной силы много труда могут сэкономить соображения симметрии. Если одновременно была бы приложена в точке В вторая горизонтальная сила, равная и противоположная первой, то в возник бы распор величины и вертикальные стержни остались бы ненапряженными (так как получающимся в сжатием можно пренебречь). Каждая сила должна (по симметрии) в суммарном распоре давать одну и ту же величину. Следовательно, распор, вызванный одной из них, равен

Аналогичные рассуждения показывают, что одна сила должна вызывать в и 5 изгибающие моменты равные по величине, но противоположные по знаку, и равные, но противоположные по направлению вертикальные реакции в Далее, она не может вызывать изгибающего момента или вертикального перемещения в среднем сечении Поэтому мы можем рассмотреть только одну половину прямоугольной рамы, предполагая, что может свободно двигаться по горизонтали, но соответствующая вертикальная сила не допускает в вертикального перемещения.)