ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VIII. Применение круговой диаграммы Мора к вопросу о прочности материала

288. Теории, предложенные различными авторами, для выяснения условий, определяющих переход материалов за предел пропорциональности кратко изложены в дополнении к главе IV. Там было показано, что вычисленный для данного материала, подверженного данному сложному напряженному состоянию, коэффициент безопасности будет различным в зависимости от того, какая из теорий прочности принята. В дополнении к главе IV мы упомянули о следующих принадлежащих различным авторам теориях прочности: теории максимального напряжения, максимальной деформации, максимального касательного напряжения или максимальной разности напряжений и максимальной упругой энергии деформации.

Общей чертой всех этих теорий является то, что критерий прочности сохраняется, если изменить знак напряжения. Таким образом, если мы возьмем простейший пример, то из них будет следовать, что предельное напряжение имеет одну и ту же величину при растяжении и при сжатии. Этот вывод в общем случае противоречит эксперименту, и следовательно, теории нуждаются в пересмотре и усовершенствовании. Теория Мора представляет собой попытку обобщения теории максимальной разности напряжений с тем, чтобы устранить это противоречие.

Теория прочности Мора

289. В основе теории максимальной разности напряжений лежит предположение о том, что как только на какой-нибудь плоскости касательное напряжение достигает некоторой предельной величины, так начинает замечаться отклонение от

закона Гука. В теории Мора это предположение видоизменяется и принимается, что предельное касательное напряжение может быть меньше или больше в зависимости от величины нормального напряжения, действующего вместе с ним. Характер этой зависимости должен определяться экспериментально. Однако постулируется, что из всех плоскостей, на которых напряжение имеет один и тот же нормальный компонент, переход за предел пропорциональности начнется с той, которая подвергается действию наибольшего касательного напряжения.

Таким образом, мы имеем дело с величиной, но не направлением наибольшего касательного напряжения, связанного с данным нормальным напряжением. Обратимся к рис. 92 и увидим, что круговая диаграмма Мора дает как раз те сведения, которые нам нужны. Мы доказали (§ 282), что нормальное напряжение, представляемое на этом рисунке отрезком на различных плоскостях будет связано с касательными напряжениями, имеющими все значения, заключенные между величинами, представляемыми отрезками и Таким образом дает искомое максимальное значение касательного напряжения. И если мы имеем дело с таким напряженным состоянием, в котором то нам нужно только построить полуокружность т. е. мы можем пренебречь промежуточным напряжением

Приложение к экспериментальным результатам

290. Если мы проводим опыт на простое растяжение, то равны нулю.

Круговая диаграмма, построенная для того, чтобы представлять условия перехода за предел пропорциональности, представляет собой круг А на рис. 94, где изображает предельные растягивающие напряжения Если мы проводим опыт на простое сжатие, то отрицательно, и круговая диаграмма представляет собой круг В. Если мы проводим опыт на кручение (простой сдвиг, т. е. два главных напряжения равны по величине и противоположны по знаку), то круговая диаграмма представляет собой круг С. Согласно теории максимальной разности напряжений в ее первоначальной форме, отклонение от

закона Гука произойдет тогда, когда максимальное касательное напряжение достигнет определенной величины, при этом все три круга имеют один и тот же радиус. Предложенная Мором обобщенная теория не исключает больше возможности того, что круги могут иметь различные радиусы. Это получается в силу предположения о том, что нормальный компонент напряжения имеет некоторое определяющее влияние.

Рис. 94.

С помощью теории Мора мы можем пойти несколько цальше. Ясно, что круги, построенные для того, чтобы представлять другие предельные положения допускаемых напряжений, как и следует ожидать, будут касаться одной и той же огибающей кривой. Эту огибающую можно достаточно гочно построить, если известны круги Точка касания некоторого круга с этой огибающей, очевидно, определяет плоскость, на которой произойдет переход за предел пропорциональности в напряженном состоянии, представленном этим <ругом. Так, на рис. 94 через обозначена точка касания згибающей кривой, показанной пунктирной линией, с кругом В. Переход за предел пропорциональности при простом сжатии прежде всего произойдет на плоскостях, нормали к которым составляют угол с линией действия силы.

291. Очевидно, что для установления теории Мора для -нибудь одного определенного материала нужно очень большое число экспериментальных работ. Теория является логическим развитием правдоподобных предположений, устраняющих трудности, упомянутые в § 288. Нельзя ничего возразить против замечания о том, что огибающая кривая на

рис. 94 пересекает горизонтальную ось в точке и тем самым указывает конечный предел упругости для «гидростатического растяжения», но налево огибающая поднимается сколь угодно высоко и таким образом не указывает предела упругости в случае действия гидростатического давления.

Другие приложения круговой диаграммы Мора

291а. Вернемся к § 280, где мы уже показали, что длины на рис. 92 связаны с (представленным отрезком и (представленным отрезком уравнениями;

и поэтому представляют собой данные уравнениями (14). Обратно, если нам заданы значения компонентов напряжения для двух направлений в плоскости наклоненных друг к другу под известным углом, то мы можем использовать круговую диаграмму для того, чтобы найти значения главных напряжений. Таким образом, в § 136 гл. IV нам заданы значения для двух направлений, образующих между собой угол в в обозначениях главы IV означают нормальные компоненты напряжения, с которыми связаны касательные напряжения Как пример рассмотрим этот случай.

Нам пока неизвестны углы которые наши направления составляют с главными напряжениями, но мы знаем, что Следовательно, на круговой диаграмме лежат на двух противоположных концах диаметра. Положение Снам известно, и можно провести все построение круговой диаграммы. Очевидно, что

следовательно,

И представляют собой данные формулами (29) главы представляют собой данные формулами (35) той же главы.

Общий случай нанряженного состояния немного сложнее, читатель может сам разобрать его. Предложим читателю исследовать также случай косого изгиба (§ 172).