Напряжения в тонком вращающемся диске

441. Теперь, воспользовавшись содержанием §§ 436—438, мы сможем найти напряжения, возникающие при вращении круглого диска малой постоянной толщины.

Потенциал массовых сил равен:

В нашей задаче так же, как и в задаче § 436 компоненты напряжения, соответствующие случаю плоской деформации, даются равенствами (59). Не нарушая общности, мы можем опустить постоянный член в выражение (I) и тогда

компоненты напряжения, соответствующие случаю плоского напряженного состояния, согласно формулам (67), будут:

где — постоянные интегрирования, мы их не определяли для решения, соответствующего случаю плоской деформации. Компонент продольного напряжения, конечно, равен нулю. Напряжения как и раньше, являются главными.

Новое решение (68) может быть применено к такого же рода задачам, как и решение §§ 473—478. Так для диска с внешним радиусом а и внутренним мы найдем, что

Для сплошного диска радиуса а В должно быть нулем, а

так что для компонентов напряжения имеем:

Максимальное значение «кольцевого» напряжения в случае сплошного диска равно:

и в случае диска с малым осевым отверстием:

Таким образом, вывод, сделанный в § 438, верен как для длинного вала, так и для тонкого диска.

Примеры

5. (Camb. M.S.T. 1933 .) Тонкий диск с пнешним радиусом а и внутренним радиусом насажен на несжимаемый вал радиуса Нормальное давление между палом и диском равно кг/см. Показать, что угловая скорость при которой давление между диском и валом обратится в нуль, будет:

( измерены в см, )

[Из принципа суперпозиции следует, что при этой скорости возникает растягивающее напряжение величины уничтожающее радиальные смещения на внутренней поверхности диска.]

6. (Camb. M.S.T. 1931.) Тонкий круглый диск постоянной толщины и радиуса составлен из двух концентрических частей. Радиус поверхности раздела равен Найти, каким должно быть наименьшее значение радиального давления на поверхности раздела в покоящемся диске для того, чтобы давление между двумя его частями обратилось бы нуль, когда он будет вращаться с угловой скоростью

[Напряжения, вызываемые вращением, накладываются на напряжения, имеющиеся в покоящемся диске.]