Тонкостенные трубы некругового поперечного сечения
161. С другой стороны, методы, использованные в §§ 165— 158, для того чтобы получить решение для тонкостенной круглой трубы, можно обобщить так, что они будут давать приближенное решение для труб других сечений малой постоянной толщины. Прямоугольный лист (рис. 47, а и 
с касательными напряжениями, действующими на его краях, можно представить себе изогнутым в цилиндр какой-нибудь некрзговой формы. Боковые стороны листа приводятся в соприкосновение и скрепляются точно так же, как и раньше. Пусть поперечное сечение получившейся трубы имеет форму, показанную на рис. 49. Как и раньше, через 
обозначим толщину и (постоянное) касательное напряжение. Элементу длины 
стенки трубы соответствует сила величины 
действующая в направлении касательной 
Составляющая этойсилыв каком-нибудь направлении 
измеряется величиной 
умноженной на проекцию 
на это направление. Полная проекция длины всего контура на направление 
равна нулю, и отсюда следует, что усилия в каждом поперечном сечении не имеют результирующей силы. Для того чтобы вычислить результирующий (крутящий) момент, мы можем брать моменты относительно любой точки О.
Рис. 49.
Если 
прямая, перпендикулярная касательной 
к контуру в точке 
то момент относительно О касательного напряжения, действующего на элемент 
стенки трубы, равен
(двойную площадь заштрихованного треугольника на рис. 49).
Отсюда результирующий крутящий момент в поперечном сечении дается формулой
где А обозначает всю площадь, заключенную внутри контура трубы.
162. Мы также можем связать крутящий момент (7 с углом закручивания на единицу длины 
если предположим, что деформация состоит только из относительных поворотов различных поперечных сечений друг относительно друга и не сопровождается изменением формы контура. При этом предположении упругая энергия, запасенная единицей длины трубы, будет 
а согласно формуле (15) главы IV, упругая энергия на единицу объема равна 
Следовательно, если через 
обозначить длину средней линии поперечного сечения трубы, то мы получим:
откуда
Исключив 
из 
и (12), мы получим выражение
163. Предыдущие результаты являются, конечно, только приближенными и требуют изменения в том случае, например, когда контур трубы имеет острые углы. Когда контур представляет собой окружность радиуса 
и формула (11) принимает вид
что совпадает с (9). Также, так как 
формула (12) сводится к формуле (8), а формула (13) к (7).
Из (12), так как 
площадь поперечного сечения трубы, мы видим, что из тонкостенных труб наиболее жесткими трубами данного веса (т. е. трубами, для которых отношение 
к 
наибольшее) являются те трубы, для которых отношение 
имеет максимальное значение. Из (13) видно, что мы получим это же самое условие, если потребуем, чтобы касательное напряжение при данной степени кручения было максимальным. При данном периметре 
круг имеет наибольшую, по сравнению со всеми другими геометрическими фигурами, площадь 
Нами, таким образом, доказано, что наиболее выгодной формой трубы с точки зрения сопротивления кручению является круглая.
Пример
12. Сравнить жесткость на кручение тонкостенной полукруглой (в форме буквы 
трубы с жесткостью круглой трубы того же радиуса. Показать, что для того, чтобы их жесткости были одинаковы, нужно, чтобы толщины имели отношение 
а веса — отношение 
